Radici intere di un polinomio

[.Ruben.17]

Provare che se P(x) e un polinomio a coefficienti interi tale che P(0) e P(1) sono interi dispari, allora P(x) non può avere radici intere.

[Pachisi]

Ci provo

Essendo $P(0)$ dispari, le radici devono essere dispari. Sia $t$ una radice intera. Essendo dispari, si ha $a_it^i = a_i mod 2$ per $i=1,2,...,n$. Allora, $P(t) = P(1) mod 2=1 mod 2$ (essendo $P(1)$ dispari), che non e` mai zero. Dunque, non possono esistere radici intere.

[.Ruben.17]

Bene.
Chiaro e preciso

[Erasmus_First]

".Ruben.":Bene.
Chiaro e preciso

Questa volta ... direi di no!
Consideriamo la prima proposizione.
«Essendo P(0) dispari, le radici devono essere dispari.».
La tesi è che NESSUNO zero di P(x) può essere intero ... e dunque che gli zeri di P(x) "devono essere dispari" non va d'accordo con la tesi, perché solo un intero può essere dispari (o pari). E non va d'accordo con la tesi nemmeno sottintendendo – per assurdo – che tutti gli zeri siano interi [perché il prodotto degli zeri è il rapporto tra P(0) e il coefficiente di grado massimo (che non è detto da nessuna parte che vale 1].
Quella frase, in verità, andrebbe corretta con:
«Essendo P(0) dispari, una eventuale radice t intera non potrebbe essere pari.»
[Infatti, se t fosse pari, essendo allora
$t mod 2 = 0$,
dovrebbe essere
$P(t) mod 2 ≡ P(0) mod 2 = 1$ ∧ $P(t) mod 2 ≡ 0 mod 2 = 0$
che è assurdo.]

Secondo me Pachisi ha senz'altro capito come si dimostra la tesi, ma questa volta si esprime maluccio!
Provo a ... rettificare la dimostrazione di Pachisi (senza la pretesa di rubargli la primogenitura).

«Se ci fosse almeno uno zero intero, – diciamolo t – ovviamente questo sarebbe o pari o dispari.
Ma è facile mostrare che si cadrebbe nell'assurdo in entrambi i casi. Infatti:
a) Se t fosse pari – diciamo $t=2k$ (con $k$ intero) – dovrebbe essere:
$P(2k) mod 2 = P(0) mod 2 = 1$ ∧ $P(2k) mod 2 ≡ 0 mod 2 = 0$
(la prima perché $2k mod 2 = 0$ e P(0) è dispari, la seconda perché $P(2k) = 0$), il che è assurdo.
b) Se t fosse dispari – diciamo $t=2k+1$ (con $k$ intero) e quindi $P(2k+1) = 0$ – dovrebbe essere:
$P(2k+1) mod 2 ≡ 0 mod 2 = 0$.
Ma siccome è $2k+1 mod 2 = 1$, dovrebbe anche essere $P(2k+1) mod 2 ≡ P(1) mod 2 = 1$ (perché P(1) è dispari).
Allora dovrebbe essere $P(2k+1) mod 2 = 0$ ∧ $P(2k+1) mod 2 = 1$, il che è assurdo.

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[.Ruben.17]

Ben formalizzata, la soluzione fa chiarezza sui punti che Pachisi(penso volutamente) ha lasciato sottintesi
La prima frase del post di Pachisi però un senso ce l'ha eccome.

Supponendo che tutte le radici sono intere:
P(0) è uguale al prodotto del coefficiente di grado massimo per le radici
Poiché è dispari vuol dire che tutti i suoi fattori sono dispari, comprese evidentemente le radici