Radice n-esima del fattoriale n-esimo

[.Ruben.17]

Dimostrare che per ogni n naturale, [tex]\sqrt[n]{n!}[/tex] non è mai intero.

[Erasmus_First]

".Ruben.":Dimostrare che per ogni n naturale, [tex]\sqrt[n]{n!}[/tex] non è mai intero.

Occorre correggere "n naturale" con "n intero maggiore di 1",
["Radice n-esima" è sinonimo di "elevazione all'esponente 1/n". Quindi la radice 0-esima non esiste e la radice prima è l'identità]
Siano n e K interi maggiori di 1.
Perché sia intera la radice n-esima di K occorre che ogni divisore primo di K abbia esponente multiplo di n, condizione assente in ogni n!

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[orsoulx]

Il più grande numero primo che compare nella fattorizzazione di $ n! $ ha come esponente sicuramente $ 1 $. Si dimostra facilmente per assurdo utilizzando il postulato di Bertrand. Quindi $ n! $ non può essere una potenza, con esponente qualsivoglia, di alcun intero maggiore di $ 1 $

Ciao

[.Ruben.17]

Bravi!! Ma c'è una dimostrazione che non fa uso di nessuna considerazione sui numeri primi...

[kobeilprofeta]

@orsoulx
[ot]Mi potresti spiegare la tua firma?[/ot]

[orsoulx]

@kobeil,
[ot]Tutto nasce da un pesce d'aprile che il grande Martin Gardner fece ai lettori di Scientific American negli anni '70. Puoi cercare "Ramanujan constant", magari in mathworld
Se ti servono altri dettagli scrivimi pure un MP.[/ot]
Ciao e buon anno.