Quiz probabilità - BMAT
Ciao ragazzi, mi aiutereste con questo problema targato BMAT?
In un gioco ci sono due sacchetti, ognuno dei quali contiene 4 palline colorate. Ci sono un
totale di 4 palline rosse, 3 palline gialle e 1 pallina blu. Il giocatore sceglie uno dei due sacchetti ed
estrae due palline senza reinserirle. Se le due palline sono dello stesso colore, allora il giocatore
vince. Il giocatore ha la stessa probabilità di scegliere uno dei due sacchetti e le palline sono disposte
in modo tale da dare al giocatore la più piccola probabilità possibile di vincere.
Qual è la probabilità che il giocatore vinca?
A 1/6
B 1/4
C 9/24
D 1/2
E 3/4
La risposta giusta è la B. Grazie mille, come sempre, in anticipo!
In un gioco ci sono due sacchetti, ognuno dei quali contiene 4 palline colorate. Ci sono un
totale di 4 palline rosse, 3 palline gialle e 1 pallina blu. Il giocatore sceglie uno dei due sacchetti ed
estrae due palline senza reinserirle. Se le due palline sono dello stesso colore, allora il giocatore
vince. Il giocatore ha la stessa probabilità di scegliere uno dei due sacchetti e le palline sono disposte
in modo tale da dare al giocatore la più piccola probabilità possibile di vincere.
Qual è la probabilità che il giocatore vinca?
A 1/6
B 1/4
C 9/24
D 1/2
E 3/4
La risposta giusta è la B. Grazie mille, come sempre, in anticipo!
Risposte
Io lo risolverei così anche se non è molto formale!
Per rendere minima la probabilità di vittoria le palline rosse devono essere divise 2-2 e le gialle divise 2-1 (altrimenti da una parte avresti la $P(text(vittoria))=3/4*2/3$ e dall'altra avresti sicuramente almeno due gialle con $P(text(vittoria))=1/2*1/3$ il che da un probabilità complessiva di vittoria molto elevata).
Quindi hai:
Sacchetto 1: R-R-G-G
Sacchetto 2: R-R-G-B
E dato che la probabilità di pescare un sacchetto è: $P(S)=1/2$ allora si ha:
$P(text(vittoria))=1/2*(2*1/2*1/3)+1/2*(1/2*1/3)=1/6+1/12=3/12=1/4$
Nella parentesi moltiplico per due poichè si può vincere pescando R-R oppure G-G e la probabilità dei due casi è la stessa.
PS: Di certo non ho dimostrato che quella allocazione di palline è quella che rende minima la probabilità di vittoria...diciamo che se pure il "si vede" in matematica non dovrebbe valere...in questo caso funziona e data la natura a crocette del quesito credo sia sufficiente.
Per rendere minima la probabilità di vittoria le palline rosse devono essere divise 2-2 e le gialle divise 2-1 (altrimenti da una parte avresti la $P(text(vittoria))=3/4*2/3$ e dall'altra avresti sicuramente almeno due gialle con $P(text(vittoria))=1/2*1/3$ il che da un probabilità complessiva di vittoria molto elevata).
Quindi hai:
Sacchetto 1: R-R-G-G
Sacchetto 2: R-R-G-B
E dato che la probabilità di pescare un sacchetto è: $P(S)=1/2$ allora si ha:
$P(text(vittoria))=1/2*(2*1/2*1/3)+1/2*(1/2*1/3)=1/6+1/12=3/12=1/4$
Nella parentesi moltiplico per due poichè si può vincere pescando R-R oppure G-G e la probabilità dei due casi è la stessa.
PS: Di certo non ho dimostrato che quella allocazione di palline è quella che rende minima la probabilità di vittoria...diciamo che se pure il "si vede" in matematica non dovrebbe valere...in questo caso funziona e data la natura a crocette del quesito credo sia sufficiente.
Concordo con il tuo ragionamento, e con i tuoi calcoli.
Grazie mille! Vi propongo quest'altro...la risposta giusta è la C.
La risposta C per me sarebbe giusta se io estraggo le palline, ma so con certezza che le sostituisco con altre dello stesso colore, non modificando di conseguenza ne i casi totali ne i casi favorevoli della successiva probabilità.
Quindi volevo sapere qual è la strada matematica ufficiale per arrivare alla soluzione.
Come sempre, grazie in anticipo!
La risposta C per me sarebbe giusta se io estraggo le palline, ma so con certezza che le sostituisco con altre dello stesso colore, non modificando di conseguenza ne i casi totali ne i casi favorevoli della successiva probabilità.
Quindi volevo sapere qual è la strada matematica ufficiale per arrivare alla soluzione.
Come sempre, grazie in anticipo!
La probabilità che la prima pallina sia rossa è $x/(x+y+z)$
La probabilità che la seconda pallina sia blu è $y/(x+y+z)$.
Moltiplico tra loro le due probabilità ed ottengo il risultato del libro.
In questo caso sostituzione o reimmissione sono la stessa cosa.
La probabilità che la seconda pallina sia blu è $y/(x+y+z)$.
Moltiplico tra loro le due probabilità ed ottengo il risultato del libro.
In questo caso sostituzione o reimmissione sono la stessa cosa.
Ah ok grazie mille...pensavo che si poteva reimmettere nel sacchetto una pallina di colore diverso, non per forza dello stesso colore di quella che era stata estratta.
L'ultima idea di Trist@no è anche mia, ed in base ad essa dico che il problema è posto male. La risposta di superpippone è valida se si precisa che la pallina reimmessa dopo la prima estrazione non è blu, ma va modificata se invece è blu; per poter dare una risposta precisa bisognerebbe sapere quale probabilità assegnare ai due eventi.
"giammaria":
L'ultima idea di Trist@no è anche mia, ed in base ad essa dico che il problema è posto male. La risposta di superpippone è valida se si precisa che la pallina reimmessa dopo la prima estrazione non è blu, ma va modificata se invece è blu; per poter dare una risposta precisa bisognerebbe sapere quale probabilità assegnare ai due eventi.
Questo è il testo del problema originale in inglese.
Magari mi sbaglio io, ma replaced per me vuol dire rimpiazzato / sostituito.
"A bag contains x red balls, y blue balls and z yellow balls. One ball at random is taken out and
replaced. A second ball at random is taken out and replaced.
If the balls are identical in all respects except colour and are well mixed, what is the probability
that the first ball was red and the second blue?"
A scuola ho studiato solo il francese, ma secondo me replaced significa ri-piazzato, rimesso.
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