Quinta potenza

[axpgn]

Dato $n$ intero, provare che l'ultima cifra di $n$ coincide con l'ultima cifra di $n^5$.


Cordialmente, Alex

[megas_archon]

Com'è che si risponde a queste domande? Mettendole in scuro?

In ultima istanza questa cosa segue dal piccolo teorema di Fermat, \(n^{\varphi(10)}\equiv 1 \pmod{10}\). Quindi \(n^4\equiv 1\pmod{10}\), cioè \(n^5\equiv n\pmod 5\). Noto questo, ci vuole un attimo a trovare tutti gli altri esponenti per cui è vero: tutti quelli della forma \(4k+1\).

[Folpo13]

Si può fare vedendo che vale per i primi $9$ interi...
$0$ e $1$ è evidente che rimangono uguali
$2$ diventa $32$ quindi verificato
$3$ diventa $243$
$4$ diventa $1024$
$5$ e $6$ è evidente che rimangono tali
$7→9→3→1→7$
$8$ diventa $4×2=8$ (da $1024=2^10\cdot32=2^5$)
$9→1→9→1→9$

E dato che tutti i numeri finiscono con una di queste cifre è verificato per ogni intero

Penso si possa risolvere in poche righe con l'algebra modulare ma non ho idea di come

[Folpo13]

"megas_archon":
...

La tua prova sembra decisamente più intelligente della mia...

Solo una cosa.

Cosa intendi per $varphi(10)$ ?

[axpgn]

Intende questo ... o almeno credo


Cordialmente, Alex

[axpgn]

Bene!



Cordialmente, Alex