Quesito Gara a Squadre Cesenatico

[Gi81]

Quante sono le coppie ordinate di interi $(a,b)$ per cui
\[
a^4+4b^4+ 12 ab−9
\]è un numero primo?

[xXStephXx]

\(\displaystyle a^4+4b^4+ 12 ab−9 = a^4+4b^4+4a^2b^2-4a^2b^2 +12ab-9=(a^2+2b^2)^2-(2ab-3)^2 \)
Scomponendo come differenza di quadrati si ha:
\(\displaystyle (a^2+2b^2-2ab+3)(a^2+2b^2+2ab-3) \)
A questo punto si illuminano gli occhi.. visto che i prodotti di due numeri non vanno molto d'accordo con i numeri primi..
Uno dei due fattori deve essere oguale a \(\displaystyle \pm 1 \), l'altro a \(\displaystyle \pm p \)..
Il primo fattore non può essere uguale a +- 1 perchè si avrebbe:
\(\displaystyle a^2+2b^2-2ab+3=1 \) quindi \(\displaystyle a^2+2b^2-2ab+2=0 \)
\(\displaystyle (a-b)^2 +b^2+2=0 \) che non ha soluzioni.. (Eguagliando a -1 si ottiene un caso analogo)..
Quindi tento la stessa cosa col secondo fattore sperando di essere più fortunato... (questa frase va interpretata bene, perchè sotto sotto spero che non ci siano soluzioni per concludere in fretta )

Eguagliando il secondo fattore a \(\displaystyle \pm 1 \) si ottengono due casi:

\(\displaystyle (a+b)^2 +b^2=4 \) e \(\displaystyle (a+b)^2 +b^2=2 \)

Nel primo caso si ha che una somma di quadrati deve dare 4, e quindi uno dei due quadrati deve essere 4, l'altro 0..
Dunque le soluzioni sono \(\displaystyle (2;-2), (-2;2), (-2;0), (2;0) \) Sostituendo si nota che l'altro fattore viene primo.. Quindi vanno bene tutte e 4.

Nel secondo caso si ha che entrambi i quadrati devono essere 1.. E quindi le soluzioni sono:
\(\displaystyle (0;1), (0;-1) \)... Sostituendo, si nota che viene 5 che moltiplicato per -1 dell'altro fattore fa -5, quindi non è primo e le soluzioni non vanno bene...Spero di non aver dimenticato casi per strada... Si hanno in totale 4 soluzioni... Bel problema

[Gi81]

@xXStephXx:

Tutto correttissimo. Ti sei solo dimenticato una cosa:

"xXStephXx":Nel secondo caso si ha che entrambi i quadrati devono essere 1.. E quindi le soluzioni sono:
\(\displaystyle (0;1), (0;-1) \)...

In realtà ci sono anche altre due soluzioni (che però non sono soluzioni accettabili)

[xXStephXx]

Hai ragione!! xD c'è anche \(\displaystyle (-2;1) , (2;-1) \)

[Gi81]