Quesito delle olimpiadi di matematica
Propongo un problema delle olimpiadi di matematica britanniche:
Una funzione \(\displaystyle f\) e` definita sull'insieme dei numeri interi positivi e soddisfa
\(\displaystyle f(1)=1996\),
e
\(\displaystyle f(1)+f(2)+...+f(n)=n^2\cdot{f(n)}\), per \(\displaystyle n>1\).
Calcolare il valore esatto di \(\displaystyle f(1996)\).
Una funzione \(\displaystyle f\) e` definita sull'insieme dei numeri interi positivi e soddisfa
\(\displaystyle f(1)=1996\),
e
\(\displaystyle f(1)+f(2)+...+f(n)=n^2\cdot{f(n)}\), per \(\displaystyle n>1\).
Calcolare il valore esatto di \(\displaystyle f(1996)\).
Risposte
Anche a me era venuta quella formula.
Ne propongo un altro un po` piu` impegnativo:
Sia \(\displaystyle \left \lfloor x \right \rfloor\) il maggior intero minore o uguale a \(\displaystyle x\). Sia
\(\displaystyle q(n)=\left \lfloor \frac{n}{\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor} \right \rfloor\), per \(\displaystyle n=1,2,3,...\).
Determinare tutti gli interi positivi \(\displaystyle n\) tale che sia \(\displaystyle q(n)>q(n+1)\).
Ne propongo un altro un po` piu` impegnativo:
Sia \(\displaystyle \left \lfloor x \right \rfloor\) il maggior intero minore o uguale a \(\displaystyle x\). Sia
\(\displaystyle q(n)=\left \lfloor \frac{n}{\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor} \right \rfloor\), per \(\displaystyle n=1,2,3,...\).
Determinare tutti gli interi positivi \(\displaystyle n\) tale che sia \(\displaystyle q(n)>q(n+1)\).
Scusate la stupidità,
Come avete fatto per risolvere il primo?
Io sarei riuscito a trovare il risultato solamente con un computer, dopo aver ricavato che $f(n+1) = frac{n}{n+2} f(n)$
Come avete fatto per risolvere il primo?
Io sarei riuscito a trovare il risultato solamente con un computer, dopo aver ricavato che $f(n+1) = frac{n}{n+2} f(n)$
Io l'ho fatto cosi`:
Eh già. Certo che accorgersi che il numero al denominatore era la somma dei primi $n$ non era, almeno per la mia mente poco abituata, affatto facile.
In ogni caso, mi correggo: non è necessario adoperare un computer. A partire dalla relazione summenzionata, si ha che
$f(1996) = frac{1995}{1997} * frac{1994}{1996} * frac{1993}{1995} * ... * frac{4}{7} * frac{3}{6} * frac{2}{4} * frac{1}{3} * f(1) = frac {2}{1997} $
Ma il vostro medoto è decisamente più brillante.
In ogni caso, mi correggo: non è necessario adoperare un computer. A partire dalla relazione summenzionata, si ha che
$f(1996) = frac{1995}{1997} * frac{1994}{1996} * frac{1993}{1995} * ... * frac{4}{7} * frac{3}{6} * frac{2}{4} * frac{1}{3} * f(1) = frac {2}{1997} $
Ma il vostro medoto è decisamente più brillante.
"Pachisi":Se $n= a^2-1$ per qualche $a in NN$, si ha \( \displaystyle q(a)= \left\lfloor \frac{a^2-1}{a-1}\right\rfloor =a+1>a = q(a^2)=q(n+1)\)
Sia \( \displaystyle q(n)=\left \lfloor \frac{n}{\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor} \right \rfloor \), per \( \displaystyle n=1,2,3,... \). Determinare tutti gli interi positivi \( \displaystyle n \) tale che sia \( \displaystyle q(n)>q(n+1) \)
Se $n$ non è del tipo $a^2-1$, allora $(a-1)^2<=n
Dunque la soluzione è: tutti i numeri interi positivi $n$ tali che $n+1$ è un quadrato.
Pertanto $n=3,8,15,24,35,48,...$
Io l'ho fatto in modo molto simile:
Siano \(\displaystyle n\) e \(\displaystyle n+1\) entrambi non quadrati perfetti, segue che
\( \displaystyle q(n)=\left \lfloor \frac{n}{\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor} \right \rfloor < q(n+1)=\left \lfloor \frac{n+1}{\left \lfloor \sqrt{n+1} \right \rfloor} \right \rfloor = \left \lfloor \frac{n+1}{\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor} \right \rfloor \), e dunque non esistono soluzioni per \(\displaystyle n\) e \(\displaystyle n+1\) entrambi non quadrati perfetti.
Sia \(\displaystyle n=k^2\) per \(\displaystyle k \in \mathbb{N}\) e si ha:
\( \displaystyle q(n)=\left \lfloor \frac{k^2}{\left \lfloor \sqrt{k^2} \right \rfloor} \right \rfloor = k = q(n+1)=\left \lfloor \frac{k^2+1}{\left \lfloor \sqrt{k^2+1} \right \rfloor} \right \rfloor = k \) e, allora, non ci sono soluzioni neanche per \(\displaystyle n=k^2\).
Infine ho considerato \(\displaystyle n+1=m^2\) per \(\displaystyle m \in \mathbb{N}\) e si ha:
\( \displaystyle q(n)=\left \lfloor \frac{m^2-1}{\left \lfloor \sqrt{m^2-1} \right \rfloor} \right \rfloor = m+1 > q(n+1)=\left \lfloor \frac{m^2}{\left \lfloor \sqrt{m^2} \right \rfloor} \right \rfloor = m \) e quindi tutte le soluzioni sono del tipo:
\(\displaystyle n+1=m^2\) con \(\displaystyle m\) un numero naturale.
Onestamente, perferisco la tua essendo molto piu` sintetica.
Siano \(\displaystyle n\) e \(\displaystyle n+1\) entrambi non quadrati perfetti, segue che
\( \displaystyle q(n)=\left \lfloor \frac{n}{\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor} \right \rfloor < q(n+1)=\left \lfloor \frac{n+1}{\left \lfloor \sqrt{n+1} \right \rfloor} \right \rfloor = \left \lfloor \frac{n+1}{\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor} \right \rfloor \), e dunque non esistono soluzioni per \(\displaystyle n\) e \(\displaystyle n+1\) entrambi non quadrati perfetti.
Sia \(\displaystyle n=k^2\) per \(\displaystyle k \in \mathbb{N}\) e si ha:
\( \displaystyle q(n)=\left \lfloor \frac{k^2}{\left \lfloor \sqrt{k^2} \right \rfloor} \right \rfloor = k = q(n+1)=\left \lfloor \frac{k^2+1}{\left \lfloor \sqrt{k^2+1} \right \rfloor} \right \rfloor = k \) e, allora, non ci sono soluzioni neanche per \(\displaystyle n=k^2\).
Infine ho considerato \(\displaystyle n+1=m^2\) per \(\displaystyle m \in \mathbb{N}\) e si ha:
\( \displaystyle q(n)=\left \lfloor \frac{m^2-1}{\left \lfloor \sqrt{m^2-1} \right \rfloor} \right \rfloor = m+1 > q(n+1)=\left \lfloor \frac{m^2}{\left \lfloor \sqrt{m^2} \right \rfloor} \right \rfloor = m \) e quindi tutte le soluzioni sono del tipo:
\(\displaystyle n+1=m^2\) con \(\displaystyle m\) un numero naturale.
Onestamente, perferisco la tua essendo molto piu` sintetica.
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