Quarto grado

[axpgn]

Quante radici negative ha questa equazione?

[size=150]$x^4-5x^3-4x^2-7x+4=0$[/size]

Cordialmente, Alex

[anto_zoolander]

nessuna

basta considerare che $P(x)=0 <=> x^4=5x^3+4x^2+7x-4$

$Q(x)=5x^3+4x^2+7x-4$ intanto ha una radice in $(0,1)$ infatti $Q(0)<0$ e $Q(1)>0$ con $Q(1)ne0neQ(0)$ e inoltre è unica infatti

$Q'(x)=15x^2+8x+7$ ha $Delta<0$ quindi è sempre positivo e pertanto $Q$ è strettamente crescente e questo ci assicura che abbia una sola soluzione in quanto se $a in (0,1)$ è la radice allora $x>a=>Q(x)>0$ e $x Q(x)<0$

da questo deduciamo che $Q(x)>0 <=> x>a>0$
quindi $exists x in RR:Q(x)=x^4 => Q(x)>0 => x>0$

ed esplode lo stadio

[axpgn]

Spoiler, please!

E poi ti rispondo domani ... pardon, oggi ma più tardi

[anto_zoolander]

Antipatico

[giammaria2]

Ecco un'altra soluzione. Ed anche una terza, più faticosa.

Supponiamo che ci sia una radice negativa $x_1$: si avrà certo
$-5x_1^3-7x_1>0$
Aggiungendo ad entrambi i membri $x_1^4-4x_1^2+4$ otteniamo
$x_1^4-5x_1^3-4x_1^3-7x_1+4>x_1^4-4x_1^2+4$
Per ipotesi il primo membro vale zero, quindi
$0>(x_1^2-2)^2$
che è impossibile in campo reale (ed $x_1$ era reale).

La terza soluzione consiste nel risolvere per via grafica il sistema
${(y=x^4-4x^2+4),(y=5x^3+7x):}$
in cui le due curve si disegnano facilmente. Questo metodo ha il pregio di dire che ci sono solo due soluzioni reali, entrambe positive; valgono circa 0.4 e 5.9.

axpgn, perché ami tanto gli spoiler? Io li apro subito, e credo di essere in numerosa compagnia. Non mi risulta che il regolamento li richieda e neanche li suggerisca.

[axpgn]

@anto
Esagerato come al solito

La soluzione semplice è questa (che poi è quella di giammaria, solo un po' più diretta se posso permettermi ... )

[size=150]$x^4-5x^3-4x^2-7x+4=0\ \ \ <=>\ \ \ (x^2-2)^2=5x^3+7x$[/size]

@giammaria
Che tu ci creda o meno, lo faccio per gli altri, non è una mia mania ...
In questa sezione (come in quella dei giochi) non si chiede aiuto ma si pongono problemi e, anche se non ti sembra, oltre ai soliti quattro o cinque habitué ci sono sempre molti ospiti; chi è interessato, spesso (molto) non vuole avere "aiutini" (almeno in prima battuta) e può bastare una sola parola (come fatto da anto) per influenzare (e un pochino "rovinare") il pensiero.
Ora, per chi scrive, costa poco (qualche secondo) per oscurare le proprie idee, a chi legge ancor meno (basta un clic), ma per coloro che sono veramente interessati è molto importante: fosse anche uno solo perché non essere gentili?

IMHO

Cordialmente, Alex

[giammaria2]

@ axpgn
Condivido l'idea della gentilezza ed avrai notato che anch'io uso gli spoiler; non mi sembra però il caso di richiederli ad altri. Tanto, resta sempre la domanda "Non ci sarà una soluzione migliore di questa?"
Per quanto riguarda la soluzione, vedi lo spoiler.

Non lo dici, ma mi pare di capire che dopo quello che hai scritto prosegui studiando le due curve; in tal caso è esattamente quella che io indicavo come terza soluzione (nei calcoli, anche io ho usato $y=(x^2-2)^2$).
Preferisco però la soluzione che ho indicato per prima: dà meno informazioni, ma dimostra la tesi senza alcuno studio di funzione, risultando quindi accessibile fin dal primo anno di liceo.

Rettifico la prima frase: si può proseguire anche dicendo che poiché il primo membro è positivo, deve esserlo anche il secondo, e ne consegue $x>0$. Se era questo che intendevi, complimenti: io non ci avevo pensato ed il tuo ragionamento è simile alla mia prima soluzione, ma più diretto.

.

[anto_zoolander]

[ot] vi risparmiate sempre sulle derivate [/ot]

[axpgn]

"giammaria":... non mi sembra però il caso di richiederli ad altri. ...

Perché no? Non ci vedo niente di male (se non si esagera) ... d'altra parte "chiedere è lecito, ... , poi ognuno fa quello che vuole"

Per quanto riguarda la soluzione ...

Riscritta in quel modo, è evidente che il primo membro è sempre positivo mente il secondo è sempre negativo per $x<0$ senza la necessità di ulteriori studi.

@anto
Non l'ho capita ...

Cordialmente, Alex