Quanto valgono le robe di k?
Sia $f: ZZ->{0,1}$ una funzione tale che:
$f(n)=f(n+2015)$
$f(1)+f(2)+\cdots+f(2015)=45$.
Dimostrare che esiste $k$ tale che se $f(n)=1$, allora $f(n+k)=0$.
$f(n)=f(n+2015)$
$f(1)+f(2)+\cdots+f(2015)=45$.
Dimostrare che esiste $k$ tale che se $f(n)=1$, allora $f(n+k)=0$.
Risposte
Probabilmente fraintendo il problema perché mi sembra che siano soddisfatte tutte le ipotesi ma non la tesi con la funzione
$f(x)={(1 if x=n),(44/2014 if x!=n):}$
Ho supposto $1<=n<=2015$ e $1<=x<=2015$ ma l'ipotesi non è restrittiva perché la funzione è periodica con $T=2015$. Volendo, potevo aggiungere dopo gli$if$qualcosa che tenesse conto di questa periodicità ma mi sembrava un'inutile complicazione.
$f(x)={(1 if x=n),(44/2014 if x!=n):}$
Ho supposto $1<=n<=2015$ e $1<=x<=2015$ ma l'ipotesi non è restrittiva perché la funzione è periodica con $T=2015$. Volendo, potevo aggiungere dopo gli$if$qualcosa che tenesse conto di questa periodicità ma mi sembrava un'inutile complicazione.
"giammaria":
Probabilmente fraintendo il problema perché mi sembra che siano soddisfatte tutte le ipotesi ma non la tesi con la funzione
$f(x)={(1 if x=n),(44/2014 if x!=n):}$
non mi è chiara questa definizione. Vuoi intendere se x è intero f(x)=1 e per x non intero f(x)=44/2014.
Hai visto che il dominio della f è Z e il codominio è costituito solo dallo 0 e dall'1?
Ho visto che il dominio è Z e quindi sia $x$ che $n$ indicano numeri interi; come ho detto, li ho considerati compresi fra 1 e 2015.
Per il codominio ho inizialmente pensato che tu lo intendessi formato solo dallo 0 e dall'1, ma ho scartato questa idea perché allora la dimostrazione sarebbe troppo ovvia (in ogni periodo ci sono 1970 valori di $k$ per cui $f(n+k)=0$).
Ho quindi supposto che lo si intendesse formato da numeri compresi fra 0 ed 1: a questo si riferisce la mia risposta.
Per il codominio ho inizialmente pensato che tu lo intendessi formato solo dallo 0 e dall'1, ma ho scartato questa idea perché allora la dimostrazione sarebbe troppo ovvia (in ogni periodo ci sono 1970 valori di $k$ per cui $f(n+k)=0$).
Ho quindi supposto che lo si intendesse formato da numeri compresi fra 0 ed 1: a questo si riferisce la mia risposta.
Il codominio è {0,1}, non [0,1]
In effetti non è un problema difficile. Non banale, ma nemmeno difficile.
Non so se sia il caso di precisare che la tesi da provare si intende:
esiste un k tale che per ogni n: f(n)=1, allora f(n+k)=0.
In effetti non è un problema difficile. Non banale, ma nemmeno difficile.
Non so se sia il caso di precisare che la tesi da provare si intende:
esiste un k tale che per ogni n: f(n)=1, allora f(n+k)=0.
Evidentemente qualcosa continua a sfuggirmi perché a me sembra banale.
L'ipotesi dice che fra 1 e 2015 ci sono 45 valori di $n$ tali che $f(n)=1$; per gli altri 1970 valori si ha quindi $f(x)=0$. La tesi è quindi dimostrata ponendo
$x=n+k" " harr" " k=x-n$
Alcune delle $k$ così trovate possono essere negative, ma nulla lo esclude.
Se anche ponessimo l'ulteriore condizione $k>=0$, basterebbe considerare l'intervallo $n<=x<=n+2014$, in cui la funzione assume gli stessi valori che fra 1 e 2015.
L'ipotesi dice che fra 1 e 2015 ci sono 45 valori di $n$ tali che $f(n)=1$; per gli altri 1970 valori si ha quindi $f(x)=0$. La tesi è quindi dimostrata ponendo
$x=n+k" " harr" " k=x-n$
Alcune delle $k$ così trovate possono essere negative, ma nulla lo esclude.
Se anche ponessimo l'ulteriore condizione $k>=0$, basterebbe considerare l'intervallo $n<=x<=n+2014$, in cui la funzione assume gli stessi valori che fra 1 e 2015.
"giammaria":
Evidentemente qualcosa continua a sfuggirmi perché a me sembra banale.
...
Alcune delle $k$ così trovate possono essere negative, ma nulla lo esclude.
non sono sicuro di aver capito cosa ti sfugga, ma ci provo.
Il problema chiede di provare che esista (almeno) un $k$ (stabilito una volta per tutte)tale che per ogni $n$, allora $f(n+k)=0$
e non che per ogni n esiste un k tale che ...
Succede anceh a voi che il sito passi sistematicamente/forzosomante al "tema mobile". Da un paio di giorni ha questo comportamento che è (di)rompente. C'è un modo per evitarlo?
Ho effettuato il collegamento per cancellare il mio intervento, ma era troppo tardi; in ritardo, ho capito che si chiedeva che $k$ avesse un unico valore, valido per tutte la predette $n$ (le mie $k$ invece dipendevano da $n$). Ci penserò.
Quanto al sito, a me sta funzionando normalmente; non so neanche cosa sia il "tema mobile" di cui parli.
Quanto al sito, a me sta funzionando normalmente; non so neanche cosa sia il "tema mobile" di cui parli.
Sì, credo di aver trovato la risposta facile ma non banale di cui parlavi e la posterò a richiesta. La mia conclusione è che ci sono almeno 34 valori possibili per $k$ (e le loro ripetizioni periodiche).
"sprmnt21":Ma ... che cos'è $n$, è un numero intero?
Sia $f: ZZ->{0,1}$ una funzione tale che:
$f(n)=f(n+2015)$
$f(1)+f(2)+\cdots+f(2015)=45$.
Dimostrare che esiste $k$ tale che se $f(n)=1$, allora $f(n+k)=0$.
E' un preciso intero o è qualsiasi numero intero ... o è invece un qualsiasi complesso?

_______


n è una variabile appartiene al dominio di $f(.)$ che è $ZZ$.
gioca lo stesso ruolo della x in una definizione del tipo (+/-)
$ f:RR->RR$ tale che $x|->x^2$.
gioca lo stesso ruolo della x in una definizione del tipo (+/-)
$ f:RR->RR$ tale che $x|->x^2$.
"giammaria":
Sì, credo di aver trovato la risposta facile ma non banale di cui parlavi e la posterò a richiesta. La mia conclusione è che ci sono almeno 34 valori possibili per $k$ (e le loro ripetizioni periodiche).
34 è scritto in base 13?
PS
è una sciocchezza! lascia perdere.