Quanto dista l'ortocentro dai verttici del triangolo di lati a, b e c?

[Erasmus_First]

Problemino di geometria piana.
«Determinare le distanze dell'ortocentro d'un triangolo dai suoi vertici in funzione delle lunghezze dei lati».

Formalmente: [size=110]
Del triangolo ABC siano note le lunghezze a, b e c dei lati rispettivamente opposti ai vertici A, B e C;
e sia O l'ortocentro di ABC.
Calcolare le lunghezze:
x = OA;
y = OB;
z = OC.[/size]
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[Pachisi]

Sia $R$ la misura del raggio del cerchio circoscritto a $ABC$.
Consideriamo il triangolo $A'B'C'$ con lati paralleli a quelli di $ABC$, ma il doppio in lunghezza. Allora, si verifica facilmente che l'ortocentro di $ABC$ è il circoncentro di $A'B'C'$. Allora $OA$ è perpendicolare a $B'C'$ e lo divide a metà. Ossia, $AC'=BC$. Essendo $OC'=2R$ ed essendo $OAC'$ rettangolo, abbiamo $OA^2+C'A^2=(2R)^2$. Ossia, $OA^2=4R^2-BC^2=4R^2-a^2$. Scrivendo $R=(abc)/(4S)$, dove $S$ è l'area di $ABC$, ed esprimendo $S$ in termini di $a$, $b$, $c$ con Erone troviamo $OA$ in termini dei lati di $ABC$. Stessa cosa per $OB$ e $OC$.