Quanti cubi a spigolo intero in un cubo a spigolo intero?

[Erasmus_First]

In un cubo di spigolo n (intero positivo):
• Quanti cubi di spigolo intero ?
• Quanti parallelepipedi (anche cubi) di spigolo intero?



P. S.
Correzione – aggiunta delle parole in grassetto – a seguito dell'intervento (più sotto) di orsoulx (che ringrazio).

[orsoulx]

Da un tetratricotomista come te, mai mi sarei aspettato una domanda così mal formulata. Allora... ad una interpretazione letterale:
per n=1, 1;
per n>1, infiniti.
Anche se non è la risposta che volevi.
Ciao

[axpgn]

Beh, sarà come questo viewtopic.php?f=12&t=146250&start=10 ma al cubo ...

L'ho buttata lì, dite di no?

Cordialmente, Alex

[xXStephXx]

Si è giusto, però c'è un approccio più diretto della doppia o tripla sommatoria

[axpgn]

Ma è questo il nocciolo della questione, no?

"... Ci sono $(n+1-j)*(n+1-k)$ rettangoli di dimensione jxk in una scacchiera da nxn. ..."

Modificato così: ... ci sono $(n+1-j)*(n+1-k)*(n+1-l)$ parallelepipedi di dimensione $j xx k xx l$ in un cubo da $n xx n xx n$ ...

Il calcolo è un dettaglio ...

Cordialmente, Alex

P.S.:

@kobe
[ot]Hai visto che hai trovato la soluzione di un problema che neanche avevi letto? Bravo.
Le sommatorie lasciale agli altri ... [/ot]

[xXStephXx]

Si, penso sia quello Però sommando singolarmente i parallelepipedi di dimensioni fissate, secondo me non si vede l'idea che rende questo problema simpatico.

[Erasmus_First]

"orsoulx":Da un tetratricotomista come te, ...

Eh, eh .. Ho fatto il liceo classico!

Traduco per gli altri: "tetra-trico-tomista" = «che spacca il capello in quattro».
Etimologia:
τετρα–: (tetra–, prefisso col significato di "quattro"), da τέτταρες, (téttares= quattro), forma attica di τέσσαρες, (téssares)];
θρίξ, τριχός (thrix, trichòs, femminile) = capello;
«tomista»: grecismo ... maccheronico orsoulxiano [per assonanza con "tomista" = seguace della filosofia di Tommaso d'Aquino] col significato di "tagliatore"; da τέμνω, τέμνειν (temno, témnein = io taglio, tagliare).

––––––––––––
Hai ragione: quesito malposto!
Qualcosa m'è rimasto nella penna ... pardon: nella tastiera.
Quel qualcosa, però, c'è nel titolo.
Son sicuro che tu sai colmare la lacuna; per cui la tua risposta è volutamente ...[completa tu con l'aggettivo che pensi che io abbia pensato ].
––––––––––––
Riformulo il quesito aggiungendo soltanto quel che manca:
In un cubo di spigolo n (intero positivo):
• Quanti cubi di spigolo intero ?
• Quanti parallelepipedi (anche cubi) di spigolo intero?

[size=90]Vado a correggere il post iniìziale ...[/size]
________

[axpgn]

"xXStephXx":... , secondo me non si vede l'idea che rende questo problema simpatico.

E scrivi qualcosa allora, dai ...

Cordialmente, Alex

[xXStephXx]

xD La sostanza è quella, è solo un modo per non fare passaggi intermedi.

Ogni parallelepipedo è ottenuto dal volume compreso tra $6$ piani: $2$ per ognuna delle $3$ dimensioni. Quindi si tratta semplicemente di contare in quanti modi posso scegliere due piani paralleli, che per un cubo di lato $n$ equivale a prendere $2$ oggetti a caso da un insieme di $n+1$ oggetti. Ovvero $n*(n+1)/2$. Facendolo per ognuna delle $3$ dimensioni viene $(n*(n+1)/2)^3$

[axpgn]

Bella. Un punto di vista diverso, ma semplice ed efficace.

Ciao, Alex

[orsoulx]

"Erasmus_First":In un cubo di spigolo n (intero positivo):
• Quanti cubi di spigolo intero ?
• Quanti parallelepipedi (anche cubi) di spigolo intero?

In un cubo di spigolo 2, continuano a starci infiniti (con la potenza del continuo) cubi di spigolo 1.
Se. invece, pensiamo al cubo di spigolo n (intero positivo) formato dall'unione di $ n^3 $ cubi di spigolo 1, e contiamo solamente i parallelepipedi a loro volta unione di 1 o più dei cubi precedenti, questi sono:

\( \binom{n+1}{2}^3 \) di cui \( \sum_{i=1}^{n}{i^3} \) cubi.
in uno spazio m-dimensionale, basta sostituire i 3 con m

Ciao

PS OT Io invece ho fatto le scuole tecniche, però conosco i due significati (medico e logico) di tricotomia.

[Erasmus_First]

"orsoulx":In un cubo di spigolo 2, continuano a starci infiniti (con la potenza del continuo) cubi di spigolo 1. [...]

@ orsoulx
Definisco "cubo elementare" un cubo rigido di spigolo lungo 1.
Sia n un numero intero positivo.
In un cubo di spigolo n fatto di cubi elementari:
• Quanti cubi scomponibili in cubi elementari ?
• Quanti parallelepipedi scomponibili in cubi elementari?
Va meglio così?
[Ma lo stile letterario è orrendo! ]

"orsoulx":[...] questi sono \( \binom{n+1}{2}^3 \) di cui \( \sum_{i=1}^{n}{i^3} \) cubi.
In uno spazio m-dimensionale, basta sostituire i 3 con m.

Però, rimanendo nel caso $m = 3,$ \( \sum_{k=1}^{n}{k^3} \) cubi $=$ \( \binom{n+1}{2}^2 \) cubi .
Ciao, ciao.

[orsoulx]

Dai Erasmus_First! Dovendo scegliere fra lo 'stile letterario' e la precisione della formulazione, un tetratricotomista non dovrebbe avere dubbi. Altrimenti rischia di venir declassato ad elegante spannometrista.
Il concetto di reticolo cubico ben si prestava ad una formulazione stilisticamente gradevole e blindata contro le osservazioni maligne dei ricercatori di peli nell'uovo.
Ciao