Quando 2^k +9 è un quadrato perfetto?

[Giup1]

Salve,
risolvendo un esercizio, mi sono imbattuto in questa domanda: per quali k naturali $ 2^k +9 $ è un quadrato perfetto?
Ringrazio anticipatamente per eventuali risposte.

[megas_archon]

Sembra una domanda molto semplice.. È un esercizio che non riesci a fare?

[reda99]

Un accenno ad un tuo tentativo non sarebbe male!
Se può aiutare: domandati per quale unico valore di $k$ la cosa è vera

[hydro1]

E’ un tipo di domanda abbastanza standard, il trucco sta nell’impostare l’equazione corrispondente, ovvero $2^k+9=m^2$, e riscriverla come $2^k=(m+3)(m-3)$. Ora hai a destra un prodotto di due interi e a sinistra una potenza di $2$. Necessariamente allora entrambi gli interi devono essere potenze di $2$. Da qua la conclusione è semplice…

[Quinzio]

Aggiungo una soluzione che mi sembra interessante che pero' funziona solo con $k$ pari.
In questo caso abbiamo una terna pitagorica dove i cateti sono $2^(k/2), 3$.
Tutte le terne pitagoriche sono generate a partire dagli interi $m, n$ in questo modo:
$a= m^2 - n^2$, $b = 2mn$, $c = m^2+n^2$.
Siccome il dispari $3$ non puo' essere $b$ allora deve essere $a$, quindi $m^2 - n^2 = (m+n)(m-n) = 3$, da cui per forza $m = 2, n = 1$.
Da questo si deduce che l'unica terna con $k$ pari e' $3,4,5$.