Quadrato perfetto

[axpgn]

Trovare tutti gli interi positivi $n$ tali che $n(n+180)$ sia un quadrato perfetto.

Cordialmente, Alex

[teorema55]

Il primo è $12$, poi $16$, ma esisterà un massimo? O, meglio, un algoritmo per determinarli tutti? Mumble mumble.............

[orsoulx]

12; 16; 60; 144; 320; 588; 1936.

Ciao

[axpgn]

@orsoulx


@teorema55
Si può dimostrate che esiste un massimo all'insieme di quegli interi.

[Bremen000]

Io ho scritto $180n$ come somma di $p$ interi dispari consecutivi a partire da $2n+1$ e, con un po' di conti, ho trovato:
12 16 60 144 320 588 1936

@axpgn
Ho pubblicato per la prima volta un problema in questa sezione ma non me l'ha guardato nessuno! Dici che era più adatto ad un'altra sezione?

[axpgn]

Eh, direi ... ho pensato pure di scrivertelo ... nella sezione "Scervelliamoci un po'" c'è più gente interessata a quel tipo di problemi ...

per il problema (anche se non ho capito il tuo metodo, a parte "fare i conti" ... )

Cordialmente, Alex

[Bremen000]

@axpgn

Ho solo usato il fatto che due quadrati perfetti sono distanziati da una somma di interi dispari consecutivi

Per l'altro problema allora provo a farmelo spostare!

[axpgn]

Vero, però così hai fatto una "valangata" di conti, allora secondo me facevi prima a fare il calcolo diretto ...

Sì, chiedi ad un moderatore di spostartelo ... in generale, chi frequenta questa sezione, frequenta anche l'altra mentre non è vero il viceversa ...

Cordialmente, Alex

[gio73]

allora sposto

[axpgn]

@gio73
Ma non questo thread! Quello di Bremen da "Giochi Matematici" a "Scervelliamoci un po'" ...

[dan952]

L'equazione diventa
\begin{equation}
(n+90)^2-k^2=8100
\end{equation}
Quindi il problema sta nel risolvere i sistemi lineare della forma
\begin{cases}
n+90+k=a \\
n+90-k=b
\end{cases}
con $a,b \in \mathbb{N}$ tali che $ab=8100$

@Alex
[ot]Cosa aspettano a farti moderatore dico io...[/ot]

[giammaria2]

Aggiungo un altro algoritmo, che mi sembra abbastanza veloce.

Affinché quel prodotto sia un quadrato, deve essere
${(n=kp^2),(n+180=kq^2):}$
e sottraendo membro a membro ottengo
$k(q+p)(q-p)=180$
$k$ è quindi un sottomultiplo di $180=2^2*3^2*5$ e posso trascurare i valori divisibili per $2^2$ o $3^2$, inglobando quel quadrato in $p^2,q^2$. Escludo inoltre che $k$ sia pari, perché allora il prodotto $(q-p)(q+p)$ sarebbe pari ma non divisibile per 4, mentre i due fattori sono entrambi pari o entrambi dispari. Con queste limitazioni, gli unici valori possibili di $k$ sono 1; 3; 5; 15.

Per ciascuno di questi valori, calcolo $(q-p)(q+p)$ e lo decompongo nel prodotto di due numeri pari (perché il prodotto è pari). Osservando il sistema
${(q-p="fattore minore"),(q+p="fattore maggiore"):}$
concludo che $p$ è la semidifferenza dei due fattori; la calcolo e ne deduco $n=kp^2$.

In dettaglio, i calcoli sono:

- per $k=1$ ho $(q-p)(q+p)=180$, decomponibile in $2*90"; "6*30"; "10*18$; ne ricavo per $n$ i valori $1*44^2=1736"; "1*12^2=144"; "1*4^2=16$

- per $k=3$ ho $(q-p)(q+p)=60$, decomponibile in $2*30"; "6*10$; ne ricavo per $n$ i valori $3*14^2=588"; "3*2^2=12$

- per $k=5$ ho $(q-p)(q+p)=36$, decomponibile in $2*18"; "6*6$; ne ricavo per $n$ i valori $5*8^2=320"; "5*0^2=0$ (da scartare per l'ipotesi)

- per $k=15$ ho $(q-p)(q+p)=12$, decomponibile in $2*6$; ne ricavo per $n$ il valore $15*2^2=60$

[Bremen000]

Spiego meglio quello che ho usato io, cioè ho usato l'approccio pura carta e penna.
Prima di tutti ho provato un po' di numeri bassi a caso e ho trovato $12$ e $16$.
Dopodiché se $n^2 +180n$ deve essere un quadrato allora $180n$ deve essere una somma di $p$ numeri consecutivi dispari a partire da $2n+1$ per le ben note proprietà dei quadrati perfetti. In formule

$180n = p/2 (2n+1 + 2n +1 + 2(p-1))= p(2n+ p)$ e dunque $n= p^2/(2(90-p))$


Avendo già controllato fino a $16$ e poiché $n$ deve essere positivo si ricava $40 Si vede poi che $p$ non può essere dispari, se no $n$ non è intero. Dunque basta controllare i $p$ pari compresi tra $41$ e $89$, che non sono tanti

[Erasmus_First]

Chiedo scusa a tutti se la mia risposta (che sto per inviare), potrà sembrare suggerita dalle risposte altrui.
Vi do la mia parola che è assolutamente autonoma.
L'ho scritta stamattina presto; ma poi ho avuto – purtroppo – altro da fare.
Stasera ho compilato un "paperino" (= piccolo "paper") con la mia rispsta, ne ho fatto un'immagine e poi ho caricato l'immagine sul sito di hosting "postimage.org" col nome "Quadrato_perfetto.png".
Eccola qua:

––> Pro quiz "Quadrato perfetto"

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