Quadrati perfetti

[Pachisi]

Trovare tutti gli interi $n$ tali che $9n+1$ e $4n+9$ siano entrambi quadrati perfetti.

[dan952]

$n=0$ e $n=40$

[Pachisi]

Si

[Vincent46]

Supponendo che
$$9n+1=k^2$$
$$4n+9=h^2$$
Moltiplicando la prima per $4$, la seconda per $9$ e sottraendo, si ottiene
$$77=11*7=(h+k)(h-k)$$.
Allora ognuno dei due fattori può essere uguale a $77, 11, 7$ oppure $1$. Dato che $h-k$ è il più piccolo fra i due, può essere uguale solo a $1$ e a $7$, e l'altro, di conseguenza, rispettivamente varrà $77$ oppure $11$. Risolvendo per $h$ e $k$ si trova $n=0$ o $n=40$.

[Pachisi]

@Vincent46:

Si
Mi sa che c'è un errore di battitura: dovrebbe essere $77=(3h+2k)(3h-2k)$.

[Erasmus_First]

"Pachisi":Trovare tutti gli interi $n$ tali che $9n+1$ e $4n+9$ siano entrambi quadrati perfetti.

Pongo:
$x(n) = sqrt(9n+1)$ e $y(n) = sqrt(4n+9)$
Trovo subito $x(0) = 1$ e $y(0) = 3$.
[size=85]Per eventuali n>0 per cui x(n) e y(n) sono interi sarà x(n) > y(n) perché il prossimo intero x è x(7) = 8 mentre 6 < y(7) < 7.[/size]

[size=120]a) n dispari[/size], n = 2k+1. Allora x è pari, x = 2m. Allora:
$18k + 10 = 4m^2$ → $9k+5 = 2m^2$ → k è dispari, diciamo k = 2h+1, e allora n = 4h + 3.
$36h + 28 = 4m^2$ → $9h+7 = m^2$. Allora h può essere pari o dispari.
[Per esempio: $9·1+7= 16 = 4^2$; $9·2 + 7 = 25 = 5^2$.]
Con n = 4h+3 abbiamo $4n + 9 = 16h+21 = y^2$ → y dispari, diciamo y =2m+1. Allora:
$16h + 21 = 4m^2 + 4m + 1$ → $16h + 20 = 4m^2 + 4m$ → $4h + 5 = m(m+1)$, impossibile per m intero.
[size=120]Non ci sono n dispari per cui 9n + 1 e 4n + 9 siano entrambi quadrati di interi.[/size]

[size=120]a) n pari[/size], n = 2k. Allora x è dispari, x = 2m+1. Allora:
$18k+1=4m^2 + 4m + 1$ → $9k = 2m(m+1)$ → k divisibile per 4, cioè n divisibile per 8, n = 8h. Allora:
$9n + 1 = 72h +1 = 4m^2 + 4m + 1$ → $h = (m·(m+1))/18$ ––> prodotto di due numeri consecutivi, il dispari multiplo di 9.
[Per esempio m = 8, e m+1 = 9 → 8·9 = 72 → 2m+1 = 17 → 9n+1 = 17^2 =289 → 9n = 288 → n = 32.
Oppure: m = 9 e m+1 = 10 → 9·10 = 90 → 2m+1 = 19 → 9n+1 = 19^2 =361 → 9n = 360 → n = 40.]
Allora per y (che è dispari, diciamo y = 2m+1) viene:
$32h + 9 = 4m^2 + 4m + 1$ → $4h+1 = m(m+1)/2$ → dei due numeri consecutivi, il pari è doppio di un dispari.
Supponiamo m = 4r + 2 e m+1 = 4r+3. Allora 4h = (2r+1)(4r+3)/2 -1=8r^2 +10r + 2, possibile per r dispari.
Supponiamo m = 4r + 1 e m+1 = 4r+2. Allora 4h = (4r+1)(2r+1) -1=8r^2 +6r, possibile per r pari.
[size=120]Gli n interi per cui 9n + 1 e 4n + 9 sono entrambi quadrati di interi sono pari e multipli di 8.[/size]
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(mumble ... mumble ...)
Pensandoci meglio, la discussione che ho fatto (qui sopra) è superflua!

Si ponga infatti $9n + 1 = x^2$ e $4n+9 = y^2$. Eliminando $n$ si ricava:
$n = (x^2 -1)/9 = (y^2-9)/4$ ⇒ $4x^2 - 4 = 9y^2 - 81$ ⇔ $9y^2-4x^2 =77$ ⇔ $(3y - 2x)(3y+2x)=77$.
Dovendo essere $x$ ed $y$ interi positivi ed essendo allora $3y-2x < 3y + 2x$ sono possibili solo questi due casi:
a) $(3y-2x= 7)$ ∧ $(3y + 3x = 11)$ da cui sommando e sottraendo
$(6y = 18)$ ∧ $(4x = 4)$ ⇔ $(y=3)$ ∧ $(x=1)$ ⇒
⇒ $[n = (x^2-1)/9 = (1^2-1)/9 = 0]$ ∨ $[n = (y^2-9)/4 = (3^2-9)/4 = 0]$;
b) $(3y-2x= 1)$ ∧ $(3y + 3x = 77)$ da cui sommando e sottraendo
$(6y = 78)$ ∧ $(4x = 76)$ ⇔ $(y=13)$ ∧ ($x=19)$ ⇒
⇒ $[n = (x^2-1)/9 = (19^2-1)/9 = 360/9n= 40]$ ∨ $[n = (y^2-9)/4 = (13^2-9)/4 = 160/4 = 40]$

Riassumendo, ci sono due sole soluzioni: $n = 0$ ∨ $n = 40$.

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[Erasmus_First]

Ho cominciato presto. C'era solo la risposta di dan95 che diceva $n = 0$ oppure $n = 40$ senza spiegare perché.
Ho finito solo da poco, concludendo in assoluta autonomia.
Vedo solo ora che sono stato preceduto da Vincent46 che ha fatto la mia stessa dimostrazione.
Che ho concluso senza aver visto la risposta di Vincent46 si rileva dal fatto che, come al solito, ho scritto molto dettagliatamente (ossia poco sinteticamente ].

[ot]Pachisi: questo quiz mi è piaciuto molto!
Dove vai a prendere questi bei quiz?
Bravo! [/ot]

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[Pachisi]

@Erasmus_First
Si
[ot]Questo l'ho trovato qui http://www.mat.uniroma2.it/~mongodi/oli/ese1.pdf [/ot]