Prodotto infinito

[axpgn]

Quanto fa questo prodotto infinito?


[size=150]$3^(1/3)*9^(1/9)*27^(1/27)*...*(3^n)^(1/(3^n))*...$[/size]




Cordialmente, Alex

[solaàl]

Immagino tu voglia che la risposta sia nascosta;

\(\prod_{n=1}^\infty 3^{\frac{n}{3^n}} = 3^{\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{3^n}} = 3^{3/4}\); questo perché la somma \(\sum n x^n\), con un argomento di "deriva di qua, spingi di là", fa \(\frac{x}{(x-1)^2}\), e valutata in 1/3...

[axpgn]

"solaàl":Immagino tu voglia che la risposta sia nascosta; ...

Sì, grazie.

[Bokonon]

$3^(3/4)$

[axpgn]

@Bokonon
Potevi sforzarti un po' di più

Un possibile percorso algebrico per passare dalla formulazione iniziale a quella finale proposta da solaàl, è questo ...

Poniamo $P=3^(1/3)*9^(1/9)*27^(1/27)*...=3^(1/3)*3^(2/9)*3^(3/27)*...=3^(1/3+2/9+3/27+...)=3^S$

Allora $S/3=1/3^2+2/3^3+3/3^4+...+(n-1)/3^n+...$ da cui $S(1-1/3)=1/3+1/3^2+1/3^3+...+1/3^n+...$

Cordialmente, Alex

[Bokonon]

Mi sono sforzato il giusto per essere nel 2021
https://www.wolframalpha.com/input/?i=s ... o+infinity

[axpgn]

Non vale!!!