Prodotto di coseni

[consec]

Data la seguente produttoria

$\prod_{n=1}^{infty} cos(\pi/(n+2))$

a) mostrare che converge a un valore diverso e maggiore di zero
b) determinare tale valore

Non so se il secondo punto sia fattibile in quanto l'esercizio originale chiedeva solo il primo.

[.Ruben.17]

Punto 1
Poiché per n>0 gli angoli $\pi /(n+2)$ sono tutti compresi tra 0° e 60° i vari coseni sono tutti positivi
Quindi il prodotto totale è positivo

[@melia]

Resta il fatto che si tratta di un prodotto di infiniti valori tutti minori di 1.

[consec]

Che tutti i fattori siano positivi e minori di $1$ e che quindi il limite della serie è compreso tra $0$ e $1/2$ non ci piove. L'esercizio chiede di provare che il limite della produttoria sia appunto diverso da zero, e che quindi quando l'indice superiore tende a infinito il valore della produttoria non si avvicini indistintamente a zero, ma si assesti a un valore che, per quanto piccolo, non è nullo.

[dan952]

Edit: Ho sbagliato a contare

[kobeilprofeta]

Non ho ancora studiato le produttorie e non capisco come il prodotto di infiniti termini minori di uno possa convergere a $l >0$

[consec]

"kobeilprofeta":Non ho ancora studiato le produttorie e non capisco come il prodotto di infiniti termini minori di uno possa convergere a $l >0$

Appunto perché i termini si avvicinano progressivamente a $1$ diventano "ininfluenti" al valore della produttoria. Il tuo discorso è come dire che una sommatoria non può convergere perché è somma di infiniti termini maggiori di zero, ma questo non accade finché i termini diventano infinitesimi (condizione necessaria ma non sufficiente) ossia si possono approssimare all'elemento neutro dell'operazione (ciò vale anche per $1$ nelle produttorie)
Non sono richieste conoscenze specifiche sulle produttorie che tra l'altro neppure io ho (almeno per il primo punto)... comunque non credo di aver capito l'intervento di dan.

Metto un hint in spoiler, comunque

determinare una stima dal basso prendendo i logaritmi e trovando delle minorazioni più maneggevoli sfruttando la concavità/convessità delle funzioni

[dan952]

@consec

Cosa non è chiaro?
La disuguaglianza $\cos(\pi/n)>1-1/n$ vale per ogni $n$ sufficiente grande, conseguenza del fatto che $\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1-\cos(1/n)}{1/n^2}=1/2$ e quindi confrontando gli infinititesimi si ottiene $\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1-\cos(1/n)}{1/n}=0$, ovvero $1-\cos(1/n)=o(1/n)$...

[consec]

"dan95":@consec

Cosa non è chiaro?
La disuguaglianza $\cos(\pi/n)>1-1/n$ vale per ogni $n$ sufficiente grande, conseguenza del fatto che $\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1-\cos(1/n)}{1/n^2}=1/2$ e quindi confrontando gli infinititesimi si ottiene $\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1-\cos(1/n)}{1/n}=0$, ovvero $1-\cos(1/n)=o(1/n)$...

Ma la produttoria $\prod_{k=N+1}^{+infty} 1-1/k$ va anch'essa a zero, e minorarla con una produttoria che converge a zero non implica che a zero la prima non ci vada, per esempio la produttoria fino all'infinito di $1/n$ è maggiore della produttoria di $1/n^2$ ma entrambe vanno a zero.

[dan952]

Hai ragione... ho contato male, sorry

[dan952]

Ci riprovo...

Passando ai logaritmi si ottiene:
$\ln(\prod_{n=3}^{+\infty}\cos(\pi/n))=\sum_{n=3}^{+\infty} \ln(cos(\pi/n))$
chiaramente $\prod_{n=3}^{\infty}\cos(\pi/n) !=0 \Leftrightarrow \ln(\prod_{n=3}^{\infty}\cos(\pi/n))!= -\infty$.
Poiché risulta $\cos(\pi/n)>1-\pi/n^{3/2}$ (vedi sopra) definitivamente per $n$ sufficientemente grande, segue che $\sum_{n=N}^{+\infty} \ln(\cos(\pi/n))>\sum_{n=N}^{+\infty} \ln(1-\pi/n^{3/2})~~-\sum_{n=N}^{+\infty}\pi/n^{3/2}$
l'ultima somma converge.

[consec]

"dan95":Ci riprovo...

Passando ai logaritmi si ottiene:
$\ln(\prod_{n=3}^{+\infty}\cos(\pi/n))=\sum_{n=3}^{+\infty} \ln(cos(\pi/n))$
chiaramente $\prod_{n=3}^{\infty}\cos(\pi/n) !=0 \Leftrightarrow \ln(\prod_{n=3}^{\infty}\cos(\pi/n))!= -\infty$.
Poiché risulta $\cos(\pi/n)>1-\pi/n^{3/2}$ (vedi sopra) definitivamente per $n$ sufficientemente grande, segue che $\sum_{n=N}^{+\infty} \ln(\cos(\pi/n))>\sum_{n=N}^{+\infty} \ln(1-\pi/n^{3/2})~~-\sum_{n=N}^{+\infty}\pi/n^{3/2}$
l'ultima somma converge.

Sì mi sembra corretta ora, anche se è diversa da come ho fatto io. Tra l'altro $cos(\pi/n)>=1-\pi/n^(3/2)$ già da $n=3$ anche se non saprei come dimostrarlo. Tu come hai ricavato quest'approssimazione?

[dan952]

"dan95":@consec

Cosa non è chiaro?
La disuguaglianza $\cos(\pi/n)>1-1/n$ vale per ogni $n$ sufficiente grande, conseguenza del fatto che $\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1-\cos(1/n)}{1/n^2}=1/2$ e quindi confrontando gli infinititesimi si ottiene $\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1-\cos(1/n)}{1/n}=0$, ovvero $1-\cos(1/n)=o(1/n)$...

In maniera simile

[Erasmus_First]

"@melia":Resta il fatto che si tratta di un prodotto di infiniti valori tutti minori di 1.

Cosa intendi?
Che resta il sospetto che quel prodotto tenda a 0 al tendere di $n$ all'infinito?
------------
E' abbastanza facile dimostrare che la successione di termine corrente
$p_n = \prod_{k=1}^{n} cos(\pi/(k+2))$
converge ad una costante positiva minore di 1.

Basta considerare la serie di addendo corrente
$a_n = ln[cos(π/(n+2))]$
Il "carattere" della serie $\sum_(n=1)^{infty} a_n$ si trova subito osservando che per $n$ molto grande si può sostituire
$cos(π/(n+2))$
con
$1-π^2/2· 1/(n+2)^2$
e quindi
$a_n = ln[cos(π/(n+2))]$
con
$b_n = -π^2/2· 1/(n+2)^2 ≈ a_n$.
Il "carattere" della serie $\sum_(n=1)^{infty} a_n$ è dunque quello della nota serie di Eulero
$\sum_(n=1)^{infty} 1/n^2$
[che converge a $π^2/6$].
Pertanto la serie $\sum_(n=1)^{infty} ln[cos(π/(n+2))]$ non diverge a $-∞$ ma converge ad una costante negativa.
Di conseguenza il prodotto $p_n = \prod_{n=1}^{infty} cos(\pi/(n+2))$ tende ad una costante positiva minore di 1.
Non credo che questa costante sia tra quelle dotate già di un proprio simbolo.
Col programma "Grapher" (per Apple) ho trovato
$\prod_{n=1}^{infty} cos(\pi/(n+2)) ≈$ (circa) $0,1149420$ (dove queste 7 cifre dovrebbero essere cifre certe.

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[Erasmus_First]

Oopps!
Ho cominciato a scrivere ieri sera ma poi ho sospeso.
Solo adesso m'accorgo d'essere stato preceduto.
Amen!
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