Prodotto dei divisori

[.Ruben.17]

$\forall n \in NN : D(n)={d \in NN : d|n}$
Sia $f:NN \to NN$ t.c. $f(n)=|D(n)|$

Usando le definizione date, trovare una funzione
$p:NN \to NN$ t.c. $p(n) = \prod_{d \in D(n)} d $

[Pachisi]

Prendiamo $n$ non quadrato perfetto. Siano $1, a_1,...,a_i, n$ i suoi divisori. Allora, possiamo accoppiarli: $(1,n)$, $(a_1, a_i)$, etc.. Notiamo che il prodotto di ogni coppia è $n$. Essendo $f(n)$ il numero di divisori, il numero di coppie è $f(n)/2$, quindi $p(n)=n^(f(n)/2)$.
Prendiamo $n$ quadrato perfetto. Osserviamo che $n$ ha un numero dispari di divisori. Segue che possiamo accoppiare ogni divisore con un altro tale con prodotto $n$, a parte $sqrt(n)$. Quindi, $p(n)=n^((f(n)-1)/2)*sqrt(n)=n^(f(n)/2)$.
In ogni caso, $p(n)=n^(f(n)/2)$.

[.Ruben.17]

Esattamente!