Problemi Normale AA 1997/98 N2
Il prezzo di mercato P di una certa merce dipende dalla quantità totale Q venduta, secondo la legge P = a-bQ, dove a e b sono due assegnati valori positivi. Sul mercato operano solo due produttori, in concorrenza fra loro. A regime, cioé quando nessuno dei due ha interesse a cambiare la quantità merce da lui venduta, i due produttori vendono rispettivamente delle quantità X e Y di merce. Supponendo che la produzione avvenga a costo zero, determinare X e Y.
Risposte
Riporto un carteggio tra me e un altro partecipante au una mailing list a cui avevo sottoposto lo steso problema.
A.S. (1/10/2015): sembra un duopolio di cournot...
IO: (29/10/2015):IL problema l'ho trovato in una lista
di problemi assegnati per l'ammissione alla facoltà di matematica alla
Normale di Pisa.
Dopo una veloce riflessione ho ritenuto di poter "matematizzare" il
problema nella ricerca dei massimi delle funzioni xP(x,y) rispetto ad
x e yP(x,y) ottenendo [con la risoluzione di un sistema in due
equazioni e due incognite] il risultato che X=Y=a/(3b) (costi ugualia
0).
In effetti ritornando sul problema per cercare di ottenere lo stesso
risultato senza l'uso delle derivate, sono giunto al risultato che
esiste una condizione ancora più favorevole per i duopolisti che si
ottiene per X=Y=a/(4b).
"Turbato" da questo paradosso ho ripassato più volte i due
ragionamenti, ma non trovo errori in nessuno dei due pur avendo
risultati diversi nei due casi.
A questo punto non riuscendo a capire bene dove stia l'inghippo sono
andato, sulla base della tua osservazione, alla ricerca di
informazioni sulla teoria di Cournot.
Non ho trovato un testo abbastanza "basico" che mi permetta di
chiarirmi tutti i dubbi.
Ma la questione sembra consistere in delle ipotesi implicite (che nel
testo del problema non sono a mio avviso chiare. E questo non è bello
per un test di matematica, alla Normale per giunta) sulla natura del
mercato. Ad esempio alcuni modelli richiedono la "contemporaneità"
delle scelte dei duopolisti altri modelli la "sequenzialità" e a
seconda dei casi il valore "ottimo" può cambiare.
Io non ho mai trattato di questo genere di matematica.
Cosa ne sai tu di queste faccende?
A.S. (2/11/2015):Alla laurea triennale amai la teoria dei giochi (la scelsi anche come
argomento per la tesi!), poi purtroppo non sviluppai la passione per
concentrarmi su altro
In questo quesito, secondo me si ipotizza implicitamente la contemporaneità
delle scelte di produzione, nel qual caso la soluzione corretta è
X=Y=a/(3b), come hai dedotto usando la matematica.
Come tutti i giochi di questo tipo, però, il risultato può cambiare se da
statico (scelta una tantum contemporanea) diventa dinamico (un produttore
sceglie la propria quantità conoscendo la scelta dell'altro) o ripetuto
(ogni giorno i produttori possono scegliere la quantità da produrre
conoscendo le scelte passate dell'altro produttore). In questi ultimi due
casi, i ragionamenti dietro le strategie dei giocatori per ottenere il
proprio profitto ottimale possono essere molto più complesse e
conseguentemente più divertenti e interessanti!
Mi spieghi come sei arrivato a X=Y=a/(4b)?
IO:(4/11/2015):Nella ricerca di una soluzione "elementare", mi sono avventurato nel
seguente ragionamento.
Chiamo Rx il ricavo del produttore X e Ry analogamente il risultato
del produttore Y.
Si ha che:
Rx= X*P(X,Y)=X(a-b(X+Y)) e
Ry= Y*P(X,Y)=X(a-b(X+Y)).
Ma il fatto che i due produttori abbiano gli stessi costi (in
particolare nulli), rende simmetrica tutta la situazione.
L'affermazione non brilla per formalismo, ma credo ci stia.
Pertanto nella situazione di "equilibrio" deve essere che Rx=Ry=R.
Quindi resta da massimizzare la R=X*(a-2bX) rispetto ad X.
Cercare questo è lo stesso che cercare di massimizzare la
2bR=2bX(a-2bX) , (ho solo cambiato la scala, in un certo senso).
Quest'ultima espressione si può "leggere" nel seguente modo: devo
massimizzare il prodotto di due numeri 2bX e a-2bX che hanno somma
costante (uguale ad a). Per
tanto il massimo si ha quando i due numeri
sono uguali (è lo stesso ragionamento per cui tra i rettangoli di
uguale perimetro quello di area maggiore è il quadrato o cose di
questo tipo).
Cioé 2bX=a-2bX!
In questo caso,
R=a/(4b)*(a-2b*a/(4b))=a^2/(8b) è maggiore del ricavo nel punto di
equilibrio ottenuto per X=Y=a/3b che è R=a^2/(9b).
A.S. (1/10/2015): sembra un duopolio di cournot...
IO: (29/10/2015):IL problema l'ho trovato in una lista
di problemi assegnati per l'ammissione alla facoltà di matematica alla
Normale di Pisa.
Dopo una veloce riflessione ho ritenuto di poter "matematizzare" il
problema nella ricerca dei massimi delle funzioni xP(x,y) rispetto ad
x e yP(x,y) ottenendo [con la risoluzione di un sistema in due
equazioni e due incognite] il risultato che X=Y=a/(3b) (costi ugualia
0).
In effetti ritornando sul problema per cercare di ottenere lo stesso
risultato senza l'uso delle derivate, sono giunto al risultato che
esiste una condizione ancora più favorevole per i duopolisti che si
ottiene per X=Y=a/(4b).
"Turbato" da questo paradosso ho ripassato più volte i due
ragionamenti, ma non trovo errori in nessuno dei due pur avendo
risultati diversi nei due casi.
A questo punto non riuscendo a capire bene dove stia l'inghippo sono
andato, sulla base della tua osservazione, alla ricerca di
informazioni sulla teoria di Cournot.
Non ho trovato un testo abbastanza "basico" che mi permetta di
chiarirmi tutti i dubbi.
Ma la questione sembra consistere in delle ipotesi implicite (che nel
testo del problema non sono a mio avviso chiare. E questo non è bello
per un test di matematica, alla Normale per giunta) sulla natura del
mercato. Ad esempio alcuni modelli richiedono la "contemporaneità"
delle scelte dei duopolisti altri modelli la "sequenzialità" e a
seconda dei casi il valore "ottimo" può cambiare.
Io non ho mai trattato di questo genere di matematica.
Cosa ne sai tu di queste faccende?
A.S. (2/11/2015):Alla laurea triennale amai la teoria dei giochi (la scelsi anche come
argomento per la tesi!), poi purtroppo non sviluppai la passione per
concentrarmi su altro
In questo quesito, secondo me si ipotizza implicitamente la contemporaneità
delle scelte di produzione, nel qual caso la soluzione corretta è
X=Y=a/(3b), come hai dedotto usando la matematica.
Come tutti i giochi di questo tipo, però, il risultato può cambiare se da
statico (scelta una tantum contemporanea) diventa dinamico (un produttore
sceglie la propria quantità conoscendo la scelta dell'altro) o ripetuto
(ogni giorno i produttori possono scegliere la quantità da produrre
conoscendo le scelte passate dell'altro produttore). In questi ultimi due
casi, i ragionamenti dietro le strategie dei giocatori per ottenere il
proprio profitto ottimale possono essere molto più complesse e
conseguentemente più divertenti e interessanti!
Mi spieghi come sei arrivato a X=Y=a/(4b)?
IO:(4/11/2015):Nella ricerca di una soluzione "elementare", mi sono avventurato nel
seguente ragionamento.
Chiamo Rx il ricavo del produttore X e Ry analogamente il risultato
del produttore Y.
Si ha che:
Rx= X*P(X,Y)=X(a-b(X+Y)) e
Ry= Y*P(X,Y)=X(a-b(X+Y)).
Ma il fatto che i due produttori abbiano gli stessi costi (in
particolare nulli), rende simmetrica tutta la situazione.
L'affermazione non brilla per formalismo, ma credo ci stia.
Pertanto nella situazione di "equilibrio" deve essere che Rx=Ry=R.
Quindi resta da massimizzare la R=X*(a-2bX) rispetto ad X.
Cercare questo è lo stesso che cercare di massimizzare la
2bR=2bX(a-2bX) , (ho solo cambiato la scala, in un certo senso).
Quest'ultima espressione si può "leggere" nel seguente modo: devo
massimizzare il prodotto di due numeri 2bX e a-2bX che hanno somma
costante (uguale ad a). Per
tanto il massimo si ha quando i due numeri
sono uguali (è lo stesso ragionamento per cui tra i rettangoli di
uguale perimetro quello di area maggiore è il quadrato o cose di
questo tipo).
Cioé 2bX=a-2bX!
In questo caso,
R=a/(4b)*(a-2b*a/(4b))=a^2/(8b) è maggiore del ricavo nel punto di
equilibrio ottenuto per X=Y=a/3b che è R=a^2/(9b).
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