Problemi Normale AA 1996/97 N6

[Sk_Anonymous]

A partire da un cerchio C1 tracciare successivametne un triangolo equilatero P1 inscritto in C1, il cerchio C2 inscritto in P1, un quadrato P2 inscritto in C2, il cerchioC3 inscritto in P2, un pentagolo regolare P3 inscritto in C3, e così via, ottenendo così una successione infinita di cerchi e poligoni regolari concentrici.
Dimostrare che l'intersezione di tutti i cerchi Cn è un cerchio di raggio non nullo.

Se necessario, si può ricorrere alla seguente disuguaglianza, valida per ogni k≥1:

$1/(k+1)^2+1/(k+2)^2+1/(k+3)^2+...<1/k$


PS
Non è un problema di geometria:
Una discussione si trova a:
http://www.oliforum.it/viewtopic.php?t=11585
Anch'io ho trovato il problma molto impegnativo.

Ho trovato una soluzione che usa il suggerimento del testo.

[Sk_Anonymous]

provo a provare la relazione che si suppone ben nota:

$ 1/(k+1)^2+1/(k+2)^2+1/(k+3)^2+...<1/k, \forall k>=1$.

Infatti da $ 1/(n+1)^2 < 1/(n(n+1))=1/n-1/(n+1)$ segue, che (con il significato tipico dei "...")


$ 1/(k+1)^2+1/(k+2)^2+1/(k+3)^2+... <1/k-1/(k+1)+1/(k+1)-1/(k+2)+1/(k+2)-1/(k+3)+...=1/k$

[Sk_Anonymous]

segue una grossolana (nel senso che molti dei passaggi andrebbero formalmente giustificati, con passaggi al limite
ad esempio) traccia di soluzione.

$R=R_5\cdot \prod_{n=5}^{\infty}\cos{\frac{\pi}{n}}$

Bisogna provare che R>0.

Dalle relazioni

$\cos^2\frac{\pi}{n}=1-\sen^2\frac{\pi}{n}>1- (\frac{\pi}{n})^2> 1-(\frac{4}{n})^2$

segue che basta provare la


$R’= \prod_{n=5}^{\infty}1-(\frac{4}{n})^2>0$.

$\prod_{n=5}^{\infty}1-(\frac{4}{n})^2 = \prod_{n=5}^{\infty}(\frac{n+4}{n})(\frac{n-4}{n})=
\prod_{n=5}^{\infty}(\frac{n+4}{n})\prod_{n=5}^{\infty}(\frac{n-4}{n})$

Ma $\prod_{n=5}^{\infty}(\frac{n-4}{n})=1/5*2/6*3/7*4/8\prod_{n=5}^{\infty}(\frac{n}{n+4})$

Pertanto $R’=1/5*2/6*3/7*4/8\prod_{n=5}^{\infty}(\frac{n}{n+4})\prod_{n=5}^{\infty}(\frac{n+4}{n})=1/70$.

Mancano tanti dettagli. Ma cercherò di esplicitarli solo se qualcuno fosse specificamente interessato.