Problemi Normale AA 1968/69 N4

[Sk_Anonymous]

In un piano sono date tre rette parallele r, s, t: la retta s è tra le altre due e contiene un punto assegnato A. Determinare le parti della retta r costituite dai punti X per i quali passa almeno una retta che incontra le rette s, t in punti equidistanti da A.

PS
il problema, secondo me, è molto più impegnativo di quanto possa sembrare ad una veloce lettura[nota]del problema ho trovato una soluzione sintetica che posterò a richiesta o trascorso qualche tempo da adesso.[/nota].

[Sk_Anonymous]

ho visto adesso che il problema è stato trattato tempo fa nel forum ed è stato risolto nello stesso modo che avevo immaginato io da giammaria ed solo per questo che non faccio i complimenti per la soluzione .

[Erasmus_First]

"sprmnt21":In un piano sono date tre rette parallele r, s, t: la retta s è tra le altre due e contiene un punto assegnato A. Determinare le parti della retta r costituite dai punti X per i quali passa almeno una retta che incontra le rette s, t in punti equidistanti da A.

Non si perde in genaralità se si assume 1 la distanza tra le rette s e t e k > 0 quella tra le rette r ed s.
Considerata la perpendicolare p alle parallele passante per A, sia B l'intersezione di p con t e sia C l'intersezione di p con r.

Ho affrontato il problema nel piano cartesiano facendo coincidere la retta t con l'asse delle ascisse (di equazione y = 0), la retta s con quella di equazione y = 1 e la retta r con quella di equazione y = 1 + k.
Messo il punto A a coordinate (0, 1) [e quindi il punto B a coordinate (0, 0) e il punto C a coordinate (0, 1+k)], considero i cerchi concentrici di centro A(0, 1) e raggio R ≥ 1.
Per ogni circonferenza (memento: di raggio R ≥ 1) considero le intersezioni con la retta t (di equazione y = 0) e quelle con la retta s (di equazione y = 1)
Posto ∆ ≥ 0, se quelle con la retta t sono
$H(∆, 0)$ e $K(-∆, 0)$,
il raggio è
$R = √(1 + ∆^2)$
e le intersezioni con la retta s sono
$P (√(1 + ∆^2), 1)$ e $Q(–√(1 + ∆^2), 1)$.
Posso allora scrivere le equazioni delle rette HP, HQ, KP e KQ e vedere dove va a finire l'intersezione di una di queste rette con la retta r (di equazione y = 1 + k) al variare di ∆ ≥ 0.
Beh: considerata l'ascissa del punto di intersezione di ciascuna di queste quattro rette con la retta r (di equazione y = 1 + k), ho trovato che il luogo cercato dal problema è la stessa retta r privata del segmento "aperto" (cioè senza gli estremi) simmetrico rispetto alla perpendicolare p (ossia con punto medio in A) di lunghezza $2√(1+2k)$.
[Ma non sono nemmeno sicuro di aver fatto tutti giusti i vari passaggi}.

_______