Problemi Normale AA 1968/69 N2

[Sk_Anonymous]

Provare che il prodotto di quattro interi positivi consecutivi non è mai un quadrato perfetto e che aggiungendo al prodotto trovato 1 si ottiene sempre un quadrato perfetto[nota]del problema ho trovato una soluzione che posterò a richiesta o trascorso qualche tempo da adesso[/nota].

PS
il problema, secondo me, è molto più facilmente abbordabaile del N4 dello stesso anno

[Pachisi]

Sia $a$ un intero positivo. Allora $a(a+1)(a+2)(a+3)=(a^2+3a)(a^2+3a+2)$. Il prodotto di due interi positivi con differenza pari a 2 è sempre un quadrato perfetto meno 1. (Basta porre $a^2+3a=x-1$ allora $a^2+3a+2=x+1$, e si ha $(a^2+3a)(a^2+3a+2)=(x-1)(x+1)=x^2-1$. Allora, il prodotto di 4 interi positivi è sempre il quadrato di un intero meno 1. L'unica possibilità è che il prodotto sia 0, ma siamo negli interi positivi, quindi è impossibile. Dunque, il prodotto di 4 interi positivi consecutivi non e` mai un quadrato perfetto.

[giammaria2]

Io trovo più semplice dimostrare per prima la seconda tesi.
Detto $a$ un intero positivo, si ha
$a(a+1)(a+2)(a+3)+1=...=(a^2+3a+1)^2$
e quindi si ottiene un quadrato. Se avessimo un quadrato anche senza aggiungere $1$, ci sarebbero due quadrati consecutivi con differenza $1$, mentre con numeri positivi la minima differenza fra due quadrati è $2^2-1^2=3$

[Sk_Anonymous]

"Pachisi":

Sia $a$ un intero positivo. Allora $a(a+1)(a+2)(a+3)=(a^2+3a)(a^2+3a+2)$. Il prodotto di due interi positivi con differenza pari a 2 è sempre un quadrato perfetto meno 1. (Basta porre $a^2+3a=x-1$ allora $a^2+3a+2=x+1$, e si ha $(a^2+3a)(a^2+3a+2)=(x-1)(x+1)=x^2-1$. Allora, il prodotto di 4 interi positivi è sempre il quadrato di un intero meno 1. L'unica possibilità è che il prodotto sia 0, ma siamo negli interi positivi, quindi è impossibile.

Nulla da aggiungere, né da togliere.

Senza aprire un'altra "discussione" propongo di cercare una formola per la somma dei cubi dei primi n dispari.