Problema sul volume di un solido
Salve,
mi stavo chiedendo se si potesse generalizzare una formula, in modo tale da scomporre il volume di un solido: nella somma dei volumi delle piramidi aventi come base una faccia del solido e come vertice il centro dello stesso.
In questo modo, mi stavo chiedendo se si potesse usare questo metodo per un solido di n lati.
Ho calcolato il volume di un cubo con questa formula e il risultato coincide con il volume del cubo.
Mi chiedevo dunque se fosse possibile calcolare il volume della sfera immaginando che la sfera sia un solido con infinite facce.
Ho provato a calcolare il volume con il metodo su detto ma non sono riuscito a calcolare il volume di una piramide avente come base una delle facce (in questo caso infinitamente piccole) della sfera.
Si potrebbe invece che utilizzare questo metodo impostare un integrale doppio?
mi stavo chiedendo se si potesse generalizzare una formula, in modo tale da scomporre il volume di un solido: nella somma dei volumi delle piramidi aventi come base una faccia del solido e come vertice il centro dello stesso.
In questo modo, mi stavo chiedendo se si potesse usare questo metodo per un solido di n lati.
Ho calcolato il volume di un cubo con questa formula e il risultato coincide con il volume del cubo.
Mi chiedevo dunque se fosse possibile calcolare il volume della sfera immaginando che la sfera sia un solido con infinite facce.
Ho provato a calcolare il volume con il metodo su detto ma non sono riuscito a calcolare il volume di una piramide avente come base una delle facce (in questo caso infinitamente piccole) della sfera.
Si potrebbe invece che utilizzare questo metodo impostare un integrale doppio?
Risposte
"leprep98":
Mi chiedevo dunque se fosse possibile calcolare il volume della sfera immaginando che la sfera sia un solido con infinite facce.
Si può, e non c'è neanche bisogno di conoscere gli integrali. Dividendo la sfera in infinite piramidi di base infinitesime $S_1,S_2,...$ ed aventi il vertice nel centro della sfera, si nota che queste piramidi hanno tutte la stessa altezza, cioè il raggio $r$ della sfera, quindi
$V_("sfera")=1/3S_1r+1/3S_2r+...=1/3r(S_1+S_2+...)=1/3rS_("sfera")$
L'inconveniente è che devi conoscere la superficie della sfera; questa relazione in realtà viene usata proprio per trovare la formula per quella superficie, partendo dal volume (calcolato con altri metodi).
"Il volùm della sfera qual è?
Quattro terzi, pi greco, erre tre"
Per esempio "annegando" la sfera (se ci riesci) ... 
"giammaria":
[quote="leprep98"]Mi chiedevo dunque se fosse possibile calcolare il volume della sfera immaginando che la sfera sia un solido con infinite facce.
$V_("sfera")=1/3S_1r+1/3S_2r+...=1/3r(S_1+S_2+...)=1/3rS_("sfera")$
L'inconveniente è che devi conoscere la superficie della sfera; questa relazione in realtà viene usata proprio per trovare la formula per quella superficie, partendo dal volume (calcolato con altri metodi).
[/quote]
Grazie mille
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