Problema sul triangolo
Questo è un problema del Berkeley Team Round 2014, esercizio numero 13.
Scrivo questo post perché non c'è corrispondenza tra il mio risultato e quello nella chiave di risposta.
Sarei molto felice se qualcun altro provasse a risolvere questo problema per vedere se ho commesso degli errori o l'errore è nel foglio delle risposte.
"Sia ABC un triangolo con AB = 16, AC = 10,BC = 18. Sia D un punto su AB tale che 4AD = AB e sia E il piede della bisettrice dell'angolo da B su AC. Sia P l'intersezione di CD e BE. Qual è l'area del quadrilatero ADPE?"
Ho disegnato il triangolo su un piano cartesiano.
A(0,0) B(16,0) D(4,0)
Innanzitutto ho calcolato il coseno dell'angolo CAB.
324 = 256 + 100 – 2 x 16 x 10 x cos CAB
Così, cos CAB = 1/10 e sin(CAB) = 3/10 √11
Il punto C ha coordinate:
C=(1, 3√11)
Usando il teorema della bisettrice, AE: EC = AB: BC.
AE: EC = 16: 18, con AE + EC = 10
10: AE = 34: 16
EA = 80/17
AE/AC=( 80/17)/10= 80/170 = 8/17
Poi ho trovato le coordinate del punto E per somiglianza:
xE = 8/17 xc = 8/17
yE = 8/17 yc = 24/17 √11
E=(8/17, 24/17 √11)
Ho calcolato l'equazione della retta EB:
Da cui:
y= - √11/11 x + (16√11)/11
Ho calcolato l'equazione della retta CD:
Da cui:
y= - √11 x + 4 √11
Ho poi calcolato le coordinate del punto P, intersezione di CD e BE:
x = 14/5 and y = 6/5 √11 P(14/5, 6/5 √11)
Area(APD) = 1/2 x 4 x 6/5 √11 = 12/5 √11
A(0,0) P(14/5,6/5 √11) E(8/17,24/17 √11 )
L'area del triangolo APE l'ho calcolata sfruttando la matrice delle coordinate.
La risposta al problema è invece 116/17√2.
Ringrazio, cordiali saluti.
Scrivo questo post perché non c'è corrispondenza tra il mio risultato e quello nella chiave di risposta.
Sarei molto felice se qualcun altro provasse a risolvere questo problema per vedere se ho commesso degli errori o l'errore è nel foglio delle risposte.
"Sia ABC un triangolo con AB = 16, AC = 10,BC = 18. Sia D un punto su AB tale che 4AD = AB e sia E il piede della bisettrice dell'angolo da B su AC. Sia P l'intersezione di CD e BE. Qual è l'area del quadrilatero ADPE?"
Ho disegnato il triangolo su un piano cartesiano.
A(0,0) B(16,0) D(4,0)
Innanzitutto ho calcolato il coseno dell'angolo CAB.
324 = 256 + 100 – 2 x 16 x 10 x cos CAB
Così, cos CAB = 1/10 e sin(CAB) = 3/10 √11
Il punto C ha coordinate:
C=(1, 3√11)
Usando il teorema della bisettrice, AE: EC = AB: BC.
AE: EC = 16: 18, con AE + EC = 10
10: AE = 34: 16
EA = 80/17
AE/AC=( 80/17)/10= 80/170 = 8/17
Poi ho trovato le coordinate del punto E per somiglianza:
xE = 8/17 xc = 8/17
yE = 8/17 yc = 24/17 √11
E=(8/17, 24/17 √11)
Ho calcolato l'equazione della retta EB:
Da cui:
y= - √11/11 x + (16√11)/11
Ho calcolato l'equazione della retta CD:
Da cui:
y= - √11 x + 4 √11
Ho poi calcolato le coordinate del punto P, intersezione di CD e BE:
x = 14/5 and y = 6/5 √11 P(14/5, 6/5 √11)
Area(APD) = 1/2 x 4 x 6/5 √11 = 12/5 √11
A(0,0) P(14/5,6/5 √11) E(8/17,24/17 √11 )
L'area del triangolo APE l'ho calcolata sfruttando la matrice delle coordinate.
La risposta al problema è invece 116/17√2.
Ringrazio, cordiali saluti.
Risposte
GeoGebra è d'accordo con te.
E sono d'accordo anch'io. Naturalmente, se non hai sbagliato ad interpretare il testo: con i dati forniti, mi sembra impossibile che venga un risultato contenente $sqrt 2$. I miei primi calcoli sono analoghi ai tuoi, e lì indico solo il metodo ed il risultato; poi continuo in modo diverso, che trovo più rapido.
Dal teorema della bisettrice applicato ad ABC ricavo $(CE)/(AC)=9/17$
Dallo stesso teorema applicato a DBC ricavo $(CP)/(CD)=3/5$
Il perimetro di ABC è $2p=10+16+18=44$ e quindi il semiperimetro è $p=22$; per la formula si Erone l'area è
$S(ABC)=sqrt(22(22-10)(22-16)(22-18))=sqrt(11*2*12*6*4)=sqrt(11*12^2*2^2)=24 sqrt 11$
I triangoli ADC, ABC hanno la stessa altezza rispetto alle basi poste su AB, quindi il rapporto fra le loro aree è uguale al rapporto fra le basi:
$(S(ADC))/(S(ABC))=(AD)/(AB)=4/16->S(ADC)=4/16*24 sqrt 11=6 sqrt11$
I triangoli APC, ADC hanno la stessa altezza rispetto alle basi poste su CD, quindi
$(S(APC))/(S(ADC))=(CP)/(CD)=3/5->S(APC)=3/5*6 sqrt11=18/5 sqrt11$
I rtiangoli EPC,APC hanno la stessa altezza rispetto alle basi poste su AC, quindi
$(S(EPC))/(S(APC))=(CE)/(AC)=9/17->S(EPC)=9/17*18/5 sqrt11=162/85 sqrt 11$
Perciò
$S(ADPE)=S(ADC)-S(EPC)=6 sqrt11-162/85 sqrt11=348/85 sqrt11$
=348/85 sqrt11$
Dal teorema della bisettrice applicato ad ABC ricavo $(CE)/(AC)=9/17$
Dallo stesso teorema applicato a DBC ricavo $(CP)/(CD)=3/5$
Il perimetro di ABC è $2p=10+16+18=44$ e quindi il semiperimetro è $p=22$; per la formula si Erone l'area è
$S(ABC)=sqrt(22(22-10)(22-16)(22-18))=sqrt(11*2*12*6*4)=sqrt(11*12^2*2^2)=24 sqrt 11$
I triangoli ADC, ABC hanno la stessa altezza rispetto alle basi poste su AB, quindi il rapporto fra le loro aree è uguale al rapporto fra le basi:
$(S(ADC))/(S(ABC))=(AD)/(AB)=4/16->S(ADC)=4/16*24 sqrt 11=6 sqrt11$
I triangoli APC, ADC hanno la stessa altezza rispetto alle basi poste su CD, quindi
$(S(APC))/(S(ADC))=(CP)/(CD)=3/5->S(APC)=3/5*6 sqrt11=18/5 sqrt11$
I rtiangoli EPC,APC hanno la stessa altezza rispetto alle basi poste su AC, quindi
$(S(EPC))/(S(APC))=(CE)/(AC)=9/17->S(EPC)=9/17*18/5 sqrt11=162/85 sqrt 11$
Perciò
$S(ADPE)=S(ADC)-S(EPC)=6 sqrt11-162/85 sqrt11=348/85 sqrt11$
=348/85 sqrt11$
Ringrazio molto, saluti cordiali.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo