Problema parallelepipedo.
Salve, qualcuno può aiutarmi con questo problema:
Testo:
Sapendo che gli spigoli di un parallelepipedo rettangolo hanno somma $L>0$, determinare tutti i possibili valori del suo volume.
________________
Ho provato ad immaginarmi il parallelepipedo rettangolo e, indicando con $a$, $b$, $c$ dei suoi tre diversi spigoli tali che $4a+4b+4c=L$ scrivere $V=a*b*c$.
Poi ho visto che non vado lontano. Ho scritto la formula del cubo di trinomio e mi sono ricavato:
$V=a*b*c= ((a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3-3*a*b^2-3*a*c^2-3*a^2*b-3*a^2*c-3*b^2*c-3*b*c^2)/6=((L/4)^3-a^3-b^3-c^3-3*a*b^2-3*a*c^2-3*a^2*b-3*a^2*c-3*b^2*c-3*b*c^2)/6=((L/4)^3-(a+b)^3-c^3-3*a*c^2-3*a^2*c-3*b^2*c-3*b*c^2)/6$
Poi però non saprei come continuare. Non mi sembra la strada giusta.
Testo:
Sapendo che gli spigoli di un parallelepipedo rettangolo hanno somma $L>0$, determinare tutti i possibili valori del suo volume.
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Ho provato ad immaginarmi il parallelepipedo rettangolo e, indicando con $a$, $b$, $c$ dei suoi tre diversi spigoli tali che $4a+4b+4c=L$ scrivere $V=a*b*c$.
Poi ho visto che non vado lontano. Ho scritto la formula del cubo di trinomio e mi sono ricavato:
$V=a*b*c= ((a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3-3*a*b^2-3*a*c^2-3*a^2*b-3*a^2*c-3*b^2*c-3*b*c^2)/6=((L/4)^3-a^3-b^3-c^3-3*a*b^2-3*a*c^2-3*a^2*b-3*a^2*c-3*b^2*c-3*b*c^2)/6=((L/4)^3-(a+b)^3-c^3-3*a*c^2-3*a^2*c-3*b^2*c-3*b*c^2)/6$
Poi però non saprei come continuare. Non mi sembra la strada giusta.
Risposte
La mia soluzione non è elegante, ma è facile.
Per comodità pongo $l=L/4$, ottenendo $c=l-a-b$ e quindi
$V=ab(l-a-b)=-ab^2+ab(l-a)$
Al variare di $b$ ho quindi una parabola rivolta verso il basso, passante per l'origine e con vertice in $((l-a)/2,(a(l-a)^2)/4)$
Il volume può quindi variare da zero ad un massimo, dato dalla y del vertice. Quest'ultimo dipende ancora da $a$ e con l'analisi (ricordando che $l>a$) cerco il massimo di
$V_1=1/4 a(l-a)^2$
ed ottengo che si ha per $a=l/3$. Ne deduco $b=(l-a)/2=l/3$ e $c=l-a-b=l/3$, quindi
$V_(Max)=(l/3)^3=(L/12)^3$
Il problema era simmetrico nelle tre variabili, quindi mi aspettavo lo fosse anche la soluzione; la tentazione era dire fin da subito che il volume variava da zero ad un massimo, ottenibile quando $a=b=c=l/3$. Non mi sembrava però una dimostrazione.
Per comodità pongo $l=L/4$, ottenendo $c=l-a-b$ e quindi
$V=ab(l-a-b)=-ab^2+ab(l-a)$
Al variare di $b$ ho quindi una parabola rivolta verso il basso, passante per l'origine e con vertice in $((l-a)/2,(a(l-a)^2)/4)$
Il volume può quindi variare da zero ad un massimo, dato dalla y del vertice. Quest'ultimo dipende ancora da $a$ e con l'analisi (ricordando che $l>a$) cerco il massimo di
$V_1=1/4 a(l-a)^2$
ed ottengo che si ha per $a=l/3$. Ne deduco $b=(l-a)/2=l/3$ e $c=l-a-b=l/3$, quindi
$V_(Max)=(l/3)^3=(L/12)^3$
Il problema era simmetrico nelle tre variabili, quindi mi aspettavo lo fosse anche la soluzione; la tentazione era dire fin da subito che il volume variava da zero ad un massimo, ottenibile quando $a=b=c=l/3$. Non mi sembrava però una dimostrazione.
Grazie mille. Non mi sarebbe mai venuto in mente come risolverlo.
Le tre incognite si riducono a due, grazie al vincolo sulla somma.
Lasciando da parte l'analisi, le derivate, etc..., mi sono divertito disegnando due grafici 3D normalizzati ponendo uguale a 3 la somma dei tre spigoli.
1) academo surface plotter
Le variabili sono due spigoli.
Volume $z=xy(3-x-y)$.
Col mouse puoi ingrandire, ruotare e inclinare. Il massimo (1,1,1) è evidente con risoluzione 15 o 12 o 9.
2) wolphramalpha plot
Le variabili sono le differenze degli spigoli rispetto al punto (1,1) di massimo.
Volume $z=(1-x)(1-y)(1+x+y)$.
Il bottone "Show contour lines" mostra il luogo dei punti (x,y) che danno lo stesso volume.
Lasciando da parte l'analisi, le derivate, etc..., mi sono divertito disegnando due grafici 3D normalizzati ponendo uguale a 3 la somma dei tre spigoli.
1) academo surface plotter
Le variabili sono due spigoli.
Volume $z=xy(3-x-y)$.
Col mouse puoi ingrandire, ruotare e inclinare. Il massimo (1,1,1) è evidente con risoluzione 15 o 12 o 9.
2) wolphramalpha plot
Le variabili sono le differenze degli spigoli rispetto al punto (1,1) di massimo.
Volume $z=(1-x)(1-y)(1+x+y)$.
Il bottone "Show contour lines" mostra il luogo dei punti (x,y) che danno lo stesso volume.
Bellissima soluzione grafica! Intervengo di nuovo perché ho trovato un'altra soluzione, che evita non solo analisi ed analitica ma anche i grafici al computer: si tratta di dimostrare che, fra tutti i parallelepipedi rettangoli aventi costante la somma $l$ delle tre dimensioni, il volume maggiore compete al cubo, di spigolo $s=l/3$.
Ordiniamo le dimensioni ponendo $a>=b>=c$, con media $s$.
Poiché $a$ è la dimensione maggiore, possiamo porre $a=s+x$, con $x>=0$.
Poiché $c$ è la dimensione minore, possiamo porre $c=s-y$, con $y>=0$.
Poiché la somma delle dimensioni è $3s$, ne consegue $b=s-x+y$.
Il volume è quindi
$V=(s+x)(s-y)(s-x+y)=...=s^3-A$
essendo $" "A=s(x^2-xy+y^2)-xy(x-y)$
Dobbiamo ora dimostrare che si ha $A>=0$, valendo l'uguale solo quando si annullano $x,y$. Notiamo che non può annullarsene una sola perché se non ci sono valori superiori alla media non possono essercene neanche di inferiori, e viceversa.
Da $c>0$ deduciamo $s>y$ e nella formula di $A$ lo moltiplichiamo per un numero positivo o nullo, quindi
$A>=y(x^2-xy+y^2)-xy(x-y)=y(x^2-xy+y^2-x^2+xy)=y^3>=0$
che dimostra la tesi.
Non mi stupirebbe se qualcuno desse una risposta anche migliore di questa.
Ordiniamo le dimensioni ponendo $a>=b>=c$, con media $s$.
Poiché $a$ è la dimensione maggiore, possiamo porre $a=s+x$, con $x>=0$.
Poiché $c$ è la dimensione minore, possiamo porre $c=s-y$, con $y>=0$.
Poiché la somma delle dimensioni è $3s$, ne consegue $b=s-x+y$.
Il volume è quindi
$V=(s+x)(s-y)(s-x+y)=...=s^3-A$
essendo $" "A=s(x^2-xy+y^2)-xy(x-y)$
Dobbiamo ora dimostrare che si ha $A>=0$, valendo l'uguale solo quando si annullano $x,y$. Notiamo che non può annullarsene una sola perché se non ci sono valori superiori alla media non possono essercene neanche di inferiori, e viceversa.
Da $c>0$ deduciamo $s>y$ e nella formula di $A$ lo moltiplichiamo per un numero positivo o nullo, quindi
$A>=y(x^2-xy+y^2)-xy(x-y)=y(x^2-xy+y^2-x^2+xy)=y^3>=0$
che dimostra la tesi.
Non mi stupirebbe se qualcuno desse una risposta anche migliore di questa.
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