Problema numero 16 Kangourou 2018

[Sdavas]

Questo è il problema numero 16 della Semifinale individuale Student Kangourou 2018:

"Per quante terne ordinate (a, b, c) di numeri interi relativi accade che a × b × c = 45000?"

Ho scomposto 45000 in fattori primi:
2^3*3^2*5^4.
Ho considerato tutti i modi di scrivere 45 come prodotto di tre numeri interi relativi.
1*1*45 1*45*1 45*1*1 -1*-1*45 -1*1*-45 1*-1*-45 1*-45*-1 -1*-45*1 -1*45*-1 -45*-1*1 -45*1*-1 45*-1*-1 (12 possibilità)

1*3*15 1*15*3 3*1*15 3*15*1 15*1*3 15*3*1
-1*-3*15 -1*3*-15 1*-3*-15
-1*-15*3 -1*15*-3 1*-15*-3
-3*-1*15 -3*1*-15 3*-1*-15
-3*-15*1 -3*15*-1 3*-15*-1
-15*-1*3 -15*1*-3 15*-1*-3
-15*-3*1 -15*3*-1 15*-3*-1 (24 possibilità)

1*5*9 1*9*5 5*1*9 5*9*1 9*1*5 9*5*1
-1*-5*9 -1*5*-9 1*-5*-9
-1*-9*5 -1*9*-5 1*-9*-5
-5*-1*9 -5*1*-9 5*-1*-9
-5*-9*1 -5*9*-1 5*-9*-1
-9*-1*5 -9*1*-5 9*-1*-5
-9*-5*1 -9*5*-1 9*-5*-1 (24 possibilità)

3*3*5 3*5*3 5*3*3 -3*-3*5 -3*3*-5 3*-3*-5 -3*-5*3 -3*5*-3 3*-5*-3 -5*-3*3 -5*3*-3 5*-3*-3 (12 possibilità)

Totale: 12 + 24 +24 +12 =72

Ho poi considerato tutti i modi di ottenere il 1000 come prodotto di tre fattori considerando ogni disposizione dei fattori):
1*1*1000 (3 possibilità) 1*2*500 (6 possibilità) 1*4*250 (6 possibilità) 1*5*200 (6 possibilità) 1*8*125 (6 possibilità) 1*10*100 (6 possibilità) 1*20*50 (6 possibilità) 1*25*40 (6 possibilità) 2*2*250 (3 possibilità) 2*4*125 (6 possibilità) 2*5*100 (6 possibilità) 2*10*50 (6 possibilità) 2*20*25 (6 possibilità) 4*5*50 (6 possibilità) 4*10*25(6 possibilità) 5*5*40 (3 possibilità) 5*8*25 (6 possibilità) 5*10*20 (6 possibilità) 10*10*10 (1 possibilità)
Totale:100

In totale, le terne ordinate risultanti sono 7200 esattamente il doppio di quanto risulta nella risposta (3600).
Ci sono delle terne che ho contato due volte?

Ringrazio in anticipo coloro che vorranno provare a risolvere questo problema.

[spugna2]

Sicuramente hai trovato tutte le terne possibili, ma alcune le hai contate più volte: ad esempio $(5,9,1000)$ proviene da $(5,9,1) $ e $(1,1,1000)$, ma anche da $(1,9,5) $ e $(5,1,200) $. Se invece di $45$ e $1000$ avessi scelto due numeri coprimi avrebbe funzionato (perché?), comunque si può anche fare così...

Una terna con prodotto $45000$ è univocamente determinata da:

- come sono distribuiti i fattori $2$, il che equivale a scegliere una terna di numeri naturali (gli esponenti di $2$ nelle scomposizioni dei tre fattori) con somma $3$;
- stesso discorso per $3$ e $5$;
- i segni dei tre numeri.

In generale, fissato un numero naturale $k $, il numero di terne con somma $k $ è $((k+1)(k+2))/2$, e con questo hai sistemato i primi due punti; per il terzo, invece, ci sono $4$ possibilità (puoi scegliere liberamente i primi due segni e il terzo è forzato): mettendo tutto insieme si trova:

$(4*5)/2 * (3*4)/2 * (5*6)/2 *4 = 3600$.

[Sdavas]

Grazie dell'esauriente spiegazione!