Problema geometrico - trova l'area

[kobeilprofeta]

Prendete un rettangolo di base $2x$ ed altezza $x$. Inscrivete all'interno du circonferenze di raggio $x/2$. Tracciate la diagonale da alto/destra a basso/sinistra.

Quanto vale l'area del settorino in che si forma in basso a sinistra?


Si cerca soluzione sia con integrali, che senza.

[anto_zoolander]

'du circonferenze' sarebbe 'due circonferenze'?

[.Ruben.17]

Dalla figura inserita(l'unità monometrica 1 equivale alla x della traccia):
L'area richiesta è data da:
$S(AKL) + S(KLIG) - S(\hat{KIG})$

Dove con S ho indicato l'area e con $\hat{KIG}$ il settore circolare KIG

Determino le coordinate del punto K
mettendo a sistema l'equazione della circonferenza e della retta coincidente alla diagonale(non posto i conti perchè banali)

Ottengo: $K=(1/5x, 1/10 x)$

Da cui $S(ABC)= 1/2 *1/5 x* 1/10 x=1/100 x^2$

Calcolo $LI=1/2 x - 1/5 x=3/10 x$

Ottengo: $S(KLIG) = ((1/10 x + 1/2 x)(3/10 x))/2 = 9/100 x^2$

Calcolo l'angolo $\hat{KIG}=arcsen(LI/KG)=arcsen((3/10 x)/(x/2))=arcsen(3/5)$

L'area del settore circolare di angolo(in radianti) $\hat{KIG}$ è uguale a: $\hat{KIG}/(2\pi) \pi (x/2)^2 = (arcsen(3/5)*x^2)/8$

L'area richiesta è perciò:
$S= S(AKL) + S(KLIG) - S(\hat{KIG})=1/100 x^2+9/100 x^2-(arcsen(3/5)*x^2)/8 = (1/10 -(arcsen(3/5))/8)x^2$

[.Ruben.17]

Domani la faccio con gli integrali(mi sa che ci vogliono quelli doppi), promesso!

[anto_zoolander]

Sono molto d'accordo con Ruben in quanto a risultati senza usare gli integrali. C'è solo una piccola differenza. Il mio risultato è:

[size=150]$A(k)=k^2(1/5-arccos(4/5)/8)$[/size]

Io come coordinate di quello che chiami punto $k$ ho $P(-4/5k,k/10)$ ottenuti poggiando il rettangolo sull'asse delle ascisse.

[.Ruben.17]

Non coincidono i due risultati!
Geogebra come area calcola il mio stesso valore

[anto_zoolander]

Ho scritto male io non so perché. Anziché 1/5 è 1/10. L'ho riscontrato facendo l'integrale che tra poco metto.

[consec]

Per la soluzione analitica mi pare basti integrare su $[0;x/2]$ la funzione così definita:

$f(t)={(t/2, 0<=t<=x/5),(-sqrt((x^2)/4-(t-x/2)^2)+x/2, x/5<=t<=x/2):}$

ossia, in virtù delle proprietà additive dell'integrale

$\int_{0}^{x/5} t/2 dt +\int_{x/5}^{x/2} -sqrt((x^2)/4-(t-x/2)^2)+x/2 dt$

I calcoli non mi sembrano così impossibili ma abbastanza noiosi, magari li posto domani

[.Ruben.17]

La differenza tra le due soluzioni è esattamente di $1/10 x^2$ (ok, ora ho capito perchè)

Comunque ho risolto anche con gli integrali


Soluzione:

L'area del triangolo AKL la diamo per acquisita ed è $1/100 x^2$

Ora sostituiamo la x della traccia con t

Dobbiamo calcolare l'area sottesa al grafico della circonferenza(come nella mia figura precedente) con x che va da $1/5 t$ a $t/2$

L'eq. della circonferenza è:
$(x-t/2)^2+(y-t/2)^2=t^2/4$
Si ottiene(considerando la semicirconferenza più in basso):
$y=(t-\sqrt(4tx-4x^2))/2$

Quindi $S=1/2 \int_{1/5 t}^{ t/2} t- \sqrt{4x^2-4xt}dx = t/2(t/2 -1/5 t) - \int_{1/5 t}^{t/2}\sqrt{4x^2-4xt}dx$

Sostituisco $v=x-t/2$
$S=3/20 t^2 - \int_{-3/10 t}^{0} \sqrt{t^2 /4 - v^2}dv = 3/20 t^2 - \int_{0}^{3/10 t} \sqrt{t^2 /4 - v^2}dv $

Sostituisco $v=t/2 sin(q)$
$S=3/20 t^2 - (t^2 /4) \int_{0}^{arcsen(3/5)} cos^2(q)dq = 3/20 t^2 - (t^2 /8) \int_{0}^{arcsen(3/5)} (cos(2q)+1)dq $

$S=3/20 t^2 - arcsen(3/5)(t^2 /8) -(t^2 /16) \int_{0}^{arcsen(3/5)} (2cos(2q))dq=3/20 t^2 - arcsen(3/5)(t^2 /8) -(t^2 /16)(sin(2(arcsen(3/5)))$

$S=3/20 t^2 - arcsen(3/5)(t^2 /8) -(t^2 /8)*(sin((arcsen(3/5))cos((arcsen(3/5))$

$S=3/20 t^2 - arcsen(3/5)(t^2 /8) -(t^2 /8)(sin((arcsen(3/5))\sqrt{1-sin^2(((arcsen(3/5)))}$


$S=3/20 t^2 - arcsen(3/5)(t^2 /8) -(t^2 /8)(3/5)\sqrt{1-9/25}=3/20 t^2 -3/50 t^2 - arcsen(3/5)(t^2 /8) = (9/100 -(arcsen(3/5))/8 )t^2 $

Aggiungendo l'area del triangolino si ottiene la soluzione(identica alle due già postate)

[anto_zoolander]

Torna anche a me

il mio integrale è il seguente:

Il primo rappresenta l'area tra la circonferenza e il rettangolo in basso a sinistra. Il terzo integrale rappresenta sempre l'area tra la circonferenza e il rettangolo, solo che è una parte più piccola che poi compenso con il secondo integrale che è l'area del triangolino che ha l'ipotenusa tra il vertice del rettangolo in basso e l'intersezione della diagonale con la circonferenza.

$int_(0)^(-k/2)[k/2-sqrt(k^2/4-x^2)]dx+int_(-k/2)^(-(3k)/10)[x/2+k/4]dx-int_(-k/2)^(-(3k)/10)[k/2-sqrt(k^2/4-x^2)]dx$

... conti semplici ...

$(4k^2)/25-int_(-(3k)/10)^(0)sqrt(k^2/4-x^2)dx$

... sostituzione $x=k/2sinz$ e qualche conto ...

$(4k^2)/25-k^2/4int_(-arcsin(3/5))^(0)cos^2(z)dz$

... considerando $cos^2(z)=(1+cos(2z))/2$ l'integrale è immediato ...

$(4k^2)/25-k^2/4[(z+sinzcosz)/2]_(-arcsin(3/5))^(0)=(4k^2)/25+k^2/4[(-arcsin(3/5)+(-3/5)sqrt(1-(-3/5)^2))/2]$

$k^2[4/25-3/50-arcsin(3/5)/8]=k^2[(5)/50-arcsin(3/5)/8]$

... ottenendo infine... $k^2(1/10-arcsin(3/5)/8)$

considerando che $arcsin(3/5)=arccos(4/5)$ torna tutto

[kobeilprofeta]

"anto_zoolander":'du circonferenze' sarebbe 'due circonferenze'?

esatto

[Erasmus_First]

"kobeilprofeta":Quanto vale l'area del settorino in che si forma in basso a sinistra?

L'area di un settore circolare di raggio r e angolo al centro φ vale $φ/2r^2$.
Con riferimento alla figura allegata (corretta e molto espressiva, di indirizzo URL:
––> http://www.matematicamente.it/forum/download/file.php?id=1483 )
se per "settorino in che si forma in basso a sinistra" si intende il settore IGK, siccome questo ha raggio
r= x/2
e angolo al centro:
φ =arctan(3/4) ≈ 0,643501108793284 rad,
la sua area è evidentemente
$(1/8)·arctan(3/4)·x^2 ≈0,0804376385991605·x^2$.

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[kobeilprofeta]

"Erasmus_First":[quote="kobeilprofeta"]Quanto vale l'area del settorino in che si forma in basso a sinistra?

L'area di un settore circolare di raggior e angolo al centro φ vale $φ/2r^2$.
Con riferimento alla figura allegata (corretta e molto espressiva, di indirizzo URL:
––> http://www.matematicamente.it/forum/download/file.php?id=1483 )
se per "settorino in che si forma in basso a sinistra" si intende il settore IGK, siccome questo ha raggio
r= x/2
e angolo al centro:
φ =arctan(3/4) ≈ 0,643501108793284 rad,
la sua area è evidentemente
$(1/8)·arctan(3/4)·x^2 ≈0,0804376385991605·x^2$.

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[/quote]

Si intende AKI

[anto_zoolander]

Ne aggiungo una totalmente sintetica, però posto la bozza scritta a mano. Confesso che un po mi secca ricopiarla

[Erasmus_First]

"kobeilprofeta":Si intende AKI

???
Ma ... questo pezzo di superficie non è mica un "settore" !

[Mi ricordo che in seconda media il profe di matematica ci ha insegnato a chiamare triangolo mistilineo una parte di superficie delimitata da tre tratti di lenea di cui almeno uno non è rettilineo bensì curvo. E AKI , secondo quel mio profe, è proprio un triangolo mistilineo ].

Ma come si fa a capire che si richiede l'area di questo pezzo di superficie?
E come hanno fatto gli altri [tutti ...tranne me ) a decodificare "settorino [...] in basso a sinistra" nel pezzo di superficie delimitato dai segmenti AI e AK e dall'arco circolare KI ?
Come hanno fatto ... soprattutto essendo allegata una figura ad hoc che, se divisa in 8 quadratini uguali [di lato lungo x/2], mostra proprio un settore circolare disegnato nel quadratino "in basso a sinistra" ?

«Misteri della psiche!»

[Dato che l'angolo al centro di questo settore è solo un pelo maggiore di 36 gradi, [ossia poco più di un decimo di angolo giro], ero sicurissimo che il "settorino" fosse proprio lui, IGK].

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[anto_zoolander]

@erasmus

per quanto mi riguarda, quella superficie era l'unica che potesse sembrare complicata da calcolare, quindi mi sono buttato calcolare l'area del settore circolare mi sembrava una banalità.

[kobeilprofeta]

@erasmus

scusa se non sono stato chiaro... puntavo sul "in basso a sinistra": quello era il pezzo di superficie piú "in basso a sinistra"

[Erasmus_First]

@ anto_zoolander

"anto_zoolander":[...]calcolare l'area del settore circolare mi sembrava una banalità.

Beh: il calcolo dell'area di AKI è solo un po' più lungo ma non meno "banale" di quello del solo settore, dato che il calcolo di aree di rettangoli (noti i lati) e di triangoli rettangoli (noti i cateti) è molto più banale del calcolo di settori circolari.

Riprendiamo la figura allegata ... e mettiamo che x valga 1.
––> http://www.matematicamente.it/forum/download/file.php?id=1483
• Calcolo l'area di KLI sottraendo all'area del rettangolo di lati LI e GI l'area del settore KIG e l'area di un triangolo rettangolo di cateti lunghi come LI e GI–KL :
$Area(LKI)=0,3·0,5 -(0,3·0,4)/2 - (0,5)^2/2·arctan(3/4) = 0,09 – 0,125·arctan(3/4)$.
• Aggiungo l'area del triangolo rettangolo ALK di cateti AL e KL lunghi rtispettivamente 0,2 e 0,1 e quindi di area (0,2·0,1)/2 = 0,01:
$Area(AKI) = Area(LKI)+Area(ALK) = 0,09 – 0,125·arctan(3/4)+0,01 = $
$= 0,1 - 0,125·arctan(3/4) = 1/10 - 1/8arctan(3/4)$.

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