Problema esagono

[sssebi]

Ciao ragazzi, vi propongo questo problema in cui non sto proprio riuscendo a trovare la strada per risolverlo.

Abbiamo un esagono ABCDEF con i lati opposti paralleli. L'area dell'esagono è il doppio dell'area del triangolo ACE.
Come faccio a dimostrare che i lati opposti sono congruenti?

Grazie in anticipo

[gio73]

mmm

proviamo a vedere se il triangolo interno si può scomporre in triangoli, magari tracciando 3 rette parallele alle coppie dei lati opposti

[giammaria2]

L'idea di gio73 sarebbe ottima per il problema inverso: sapendo che i lati opposti sono congruenti, dimostrare che l'area dell'esagono è doppia di quella del triangolo. Forse c'è qualche ragionamento che la adatti anche al problema diretto, ma sinceramente non vedo quale. Do la mia soluzione, basata su un'idea simile alla sua.

Neghiamo la tesi, supponendo che sia $AB>DE$ (consiglio una figura in cui questo succeda); su $AB$ prendo il punto $B'$ tale che $AB'=DE$. Internamente all'esagono, disegno $CG$ uguale e parallelo ad essi; i quadrilateri $AB'CG$ e $GCDE$ sono quindi dei parallelogrammi. Disegno il punto $F'$ in modo che sia un parallelogramma anche $AGEF'$.

L'esagono $AB'CDEF'$ risulta quindi formato da tre parallelogrammi divisi a metà da una diagonale, mentre il triangolo $ACE$ è formato dalle tre metà: questo esagono ha perciò area doppia del triangolo e, in base all'ipotesi, è equivalente all'esagono iniziale. Guardando l'intera figura, notiamo che si ha

$S(ABCDEF)+S(EF'F)=S(AB'CDEF')+S(B'BC)$ e quindi deve essere $S(EF'F)=S(B'BC)$

Per $F'$ tracciamo la parallela ad $AB$, che incontra $EF$ in $R$: si ha $EF'=AG=B'C$ perché lati opposti di parallelogrammi; gli angoli adiacenti sono uguali perché formati da rette parallele, quindi sono uguali i triangoli $EF'R,B'BC$: ne consegue che

$S(EF'F)=S(B'BC)+S(F'FR)$
in contrasto con quello che doveva essere.