Problema di geometria - BMAT

[Trist@no]

Ciao ragazzi, qualcuno di voi sa come risolvere questo problema?
Io so solo che tgA+tgB+tgC = tgAtgBtgC .
Poi non so che strada prendere.
Qui c'è il testo del problema:

Grazie in anticipo a chi vorrà aiutarmi!
Ciao

[milizia96]

Un modo per farlo è lavorare su rapporti tra segmenti opportuni, anziché sugli angoli.
Ad esempio, se chiami $H$ il piede dell'altezza su $AB$, hai che $$\frac{CH}{AH}=\tan{A}=\frac{1}{6}$$
e lavorando su rapporti di questo genere si arriva subito (e facilmente) alla soluzione.

[Edex1]

Ciao
Io posto la mia soluzione, poi magari se sbaglio o se ce ne è una più elegante qualcuno la posterà dopo di me!
Io sono partito dal presupposto che la tangente di un angolo è il coefficiente angolare della retta di cui fa parte il segmento preso in considerazione.
In questo caso noi cerchiamo la tangente dell'angolo evidenziato dal segmento $CM$.
Ponendo il triangolo in un sistema di assi cartesiani e facendo coincidere il punto $A$ con l'origine, si ha che la retta che passa per $A$ e $C$ è la retta:
$r: y = 1/6x$
La retta che passa per $B$ e $C$è invece una qualsiasi retta del tipo:
$s: y = -2/3x + k$
Il coefficiente angolare della seconda retta deriva dal fatto che $tg(180 -x) = -tg(x)$.
Ora scegliamo convenientemente $k$ (in modo che il segmento $AB$ sia divisibile per due) e cioè facciamo passare la retta per il punto $(4;0)$.
Otteniamo così la retta:
$s: y = -2/3x + 8/3$
(La scelta di k viene fatto convenientemente perchè è indifferente che k si prenda, le rette rimangono tutte parallele e quindi i triangoli sono simili).
A questo punto troviamo il punto $C$, intersezione delle rette $r$ e $s$, che dopo qualche rapido calcolo si evidenzia come:
$(16/5 , 16/30)$
Ora il coefficiente della retta che passa per $C$ ed $M$, dove $M = (2,0)$, è dato dal rapporto tra le ascisse e le ordinate della retta in un suo qualsiasi punto.
Prendendo l'ordinata $16/30$ del punto $C$ e ottenendo l'ascissa in quel punto come la differenza fra l'ascissa del punto $C$ e quella del punto $M$ ($16/5 - 2 = 6/5$) si vede che la tangente è pari a:
$tg = 16/30 * 5/6 = 4/9$
Spero di essere stato chiaro e soprattutto di aver dato la risposta giusta

[giammaria2]

Aggiungo una soluzione trigonometrica, col teorema dei seni; pongo AM=MB=a
Triangolo ACM: $(CM)/sinalpha=(AM)/sin(theta-alpha)->CM=(asinalpha)/sin(theta-alpha)$
Triangolo BCM: $(CM)/sinbeta=(MB)/sin(pi-theta-beta)->CM=(asinbeta)/sin (theta+beta)$

Eguagliando i risultati e dando denominatore comune

$sin beta sin(theta-alpha)=sinalphasin(theta+beta)$

$sinbeta(sinthetacosalpha-costhetasinalpha)=sina(sinthetacosbeta+costhetasinbeta)$

Dividendo per $cosalphacosbetacostheta$ (diversi da zero)

$tg beta(tg theta- tg alpha)=tg alpha(tg theta+ tg beta)$

da cui si ricava facilmente

$tg theta=(2tg alpha tg beta)/(tg beta-tg alpha)=...=4/9$

[Trist@no]

Grazie mille ragazzi! Grazie davvero!