Problema di geometria

[dan952]

Nel triangolo ABC, con l'angolo CAB acuto, sia R la proiezione di B su AC e sia S la traccia della bisettrice dell'angolo BAC sul lato BC. Sapendo che l'angolo ASB vale 45°, calcolare la misura dell'angolo CRS espressa in gradi.

[orsoulx]

Una soluzione 'moderna'

Sia $ABC$ un qualsiasi triangolo soddisfacente le condizioni assegnate.
Lemma 1)
Indicando con $ R' $ il corrispondente di $ R $ nella simmetria di asse $ BC $ si ha:
$/_CR'B$ retto in quanto corrispondente di $ /_CRB $
$ /_SAC + /_ACS=/_ASB=45° $ per essere $ /_ ASB $ angolo esterno del triangolo $ ASC $, da cui
$ /_BAC+/_ACR'=2/_SAC + 2/_ACS=2*45°=90° $, quindi $ AB _|_ CR' $.
$ A,B, R' $ sono allineati; $AR'C$ è un triangolo rettangolo e $B$ è l'intersezione del lato $ AR' $ con la bisettrice dell'angolo in $ C $ (credo che l'inverso di questo lemma sia il modo più rapido per costruire un triangolo soddisfacente le condizioni assegnate).

$ S $, intersezioni delle bisettrici degli angoli in $ A $ e $ C $, è l'incentro del triangolo $ AR'C $ e la semiretta $ R'S $ sarà la bisettrice dell'angolo retto in $ R'$, quindi $ /_SR'B = /_CR'S = 45°$ da cui (per la simmetria assiale) $ /_CRS= /_CR'S=45° $.

Traccia di una possibile dimostrazione 'classica'

Detta $ \gamma $ la semicirconferenza di diametro $ AB$.
$ R $, piede dell'altezza relativa al lato $ A C $, deve appartenere a $ \gamma $.
La bisettrice $b$ dell'angolo in A taglia $ \gamma $ nel punto medio $M$ dell'arco $BR$.
Il triangolo $ BMS $, avendo $ BM _|_ MS $ e $ /_MSB=45°$ è rettangolo isoscele, quindi $S$ sarà l'intersezione (più lantana da $A$ ) di $b$ con la circonferenza $\delta$ di centro $ M $ passante per $ B $ ed $ R$.
$ /_SRB=45° $, per essere angolo alla circonferenza $\delta$ che sottende un quarto della medesima.
$ /_CRS= /_CRB-/_SRB=45°$.

[ot]Penso che la mancanza di risposte a questo problema (negli anni '80 sarebbe stato un esercizio scolastico 'normale' in un Liceo Classico o Scientifico) faccia pensare in merito su "cosa sta succedendo al biennio?"[/ot]
Ciao

[dan952]

Ecco la mia

Chiamiamo H un punto sul lato AC tale che AB = AH, qui ndi la bisettrice di BAC interseca nel punto medio M il lato BH. Si dimostra che il quadrilatero RBHS è inscritto in una circoferenza di centro M, in particolare i segmenti BM, RM e SM sono congruenti. Ora, se chiamiamo a l'angolo BAM e $x$ l'angolo da trovare abbiamo che l'angolo RBH vale a, e quindi anche l'angolo BRM vale $\alpha$, e l'angolo ASR vale $x-\alpha$ perché è congruente all'angolo MSR . Concludendo $90°=\alpha+x-\alpha+x=2x$ da cui $x=45°$