Problema di estremo

[gugo82]

Problema:

Dare una dimostrazione analitica ed una dimostrazione geometrica del seguente fatto:

A parità di lunghezze delle due diagonali, il rombo è il parallelogramma di area massima.

[Quinzio]

In un parallelogramma le diagonali si intersecano sempre a meta'.
In un parallelogramma ABCD puntiamo un compasso a meta' della diagonale AC e tracciamo un cerchio il cui diametro e' pari a BD.
Il cerchio e' il luogo dei punti (diametralmente opposti) B e D di tutti i parallelogrammi aventi le stesse diagonali.
Tracciamo anche una retta parallela ad AC che passa per B e sia h la loro distanza.
L'area del parallelogramma e' allora AC x h.
Analiticamente h e' massimo se l'angolo tra le due diagonali e' retto, realizzando cosi' un rombo.
Geometricamente si puo' comunque asserire che la distanza h e' massima se BD e' perpendicolare ad AC.

[gugo82]

@ Quinzio: Devo leggerlo con attenzione, ma pare funzioni.

La cosa interessante è che c'è un:

Addendum (al Problema di estremo dello OP):

Dare una dimostrazione geometrica del seguente fatto:

A parità di lunghezze delle due diagonali, il rombo è il parallelogramma col perimetro massimo.

[Quinzio]

Aggiunta alla risposta precedente:

Con il mouse puntare su E e spostarlo lungo la circonferenza.
Notare la misura dell'area che diventa massima quando le diagonali sono perpendicolari.
https://www.geogebra.org/calculator/rf7awxks

[Quinzio]

"gugo82":
Addendum (al Problema di estremo dello OP):

Dare una dimostrazione geometrica del seguente fatto:

A parità di lunghezze delle due diagonali, il rombo è il parallelogramma col perimetro massimo.

Questo si puo' dimostrare abbastanza facilmente aggiungendo alla costruzione un'ellisse.
Abbiamo il segmento $AC$ di lunghezza pari alla diagonale maggiore
Si disegna un cerchio di diametro pari alla diagonale minore e centro sul punto medio di $AC$.
Ogni diametro del cerchio individua sul cerchio i punti $B$ e $D$.
Per ogni diametro, tutti i parallelogrammi $ABCD$ hanno le diagonali di pari lunghezza.
Si aggiunge un ellisse di fuochi $A$ e $C$ e semiasse minore di lunghezza pari a $BD$.
Gli unici punti in comune tra l'ellisse e il cerchio sono sull'asse minore della stessa ellisse, per costruzione. In quei punti sono tangenti, per essere precisi.
Sia poi $E$ la proiezione di $B$ su $AC$. Sia $F$ l'intersezione della retta $BE$ con l'ellisse.
Usando il teorema di Pitagora si dimostra facilmente che $AF > AB$ e $CF > CB$.
E quindi $AF+CF > AB+CB$.
Siccome l'ellisse mantiene costante la somma delle distanze dei due fuochi da ogni suo punto, si puo' affermare che
per un certo $k=AF+CF$, si ha che $k > AB+CB$.
Come detto prima l'unico punto in comune tra il cerchio e l'ellisse e' sul semiasse minore dell'ellisse, in quel punto si ha che $k = AB+CB$. E in quel punto, per ragioni di simmetria, il parallelogramma $ABCD$ e' un rombo.
Il semiperimetro del rombo e' quindi $k$ che e' sempre maggiore del semiperimetro di ogni altro parallelogramma $ABCD$.
Quindi il rombo e' il parallelogramma $ABCD$ di perimetro maggiore.