Problema ammissione Sant'Anna Pisa

[borgianni1]

Si determinino i valori del parametro a per cui l’equazione $x^3 - x +a = 0$ ha tre radici intere.

Graziee

[dan952]

La risposta credo sia $a=0$, infatti siano $x_1,x_2$ e $x_3$ radici intere dell'equazione, supponiamo che $x_1x_2x_3 \ne 0$. Per ipotesi
\begin{equation}
x_i(x_i^2-1+x_jx_k)=0
\end{equation}
con $i,j,k={1,2,3}$ distinti, inoltre poiché nessuna radice è nulla (il prodotto è non nullo) dalla (1) si ha $x_jx_k=1-x_i^2$ da cui $3-x_1^2-x_2^2-x_3^2=x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=-1$, ovvero $4-x_1^2-x_2^2-x_3^2=0$ che non ammette soluzioni intere tutte diverse da zero.

[borgianni1]

Grazie mille!

[orsoulx]

Si può anche dimostrare graficamente, considerando che la funzione $ y=x^3-x $ incontra l'asse delle ascisse nei punti di ascissa $ -1, 0, 1 $. Quando la retta di equazione $ y=-a $ ha tre intersezioni con la funzione, le ascisse di due di queste saranno comprese nell'intervallo $ ]-1,0[ $ se $ a<0 $, oppure nell'intervallo $ ]0,1[ $ se $a>0 $ e non possono perciò essere intere.
Ciao

[borgianni1]

In questo modo è ancora più immediato ! Grazie a tutti e due

[totissimus]

Propongo una'altra soluzione.
Le tre radici, la cui somma è zero, non possono avere tutte lo
stesso segno. Sia $x_1$ una radice tal che $ax_{1}\geq0$

$x_1$ è radice dell'equazione $x_{1}t^{2}-t+a=0$ con discriminante
$1-4ax_{1}\geq0$ quindi $0\leq ax_{1}\leq\frac{1}{4}$. Essendo $a,x_{1}$
interi deve essere $ax_{1}=0$ quindi $a=0$ oppure $x_1=0$ e quindi $a=0$.