Problema 5 SNS 2015
Di questo problema propongo questa "soluzione". Metto le virgolette perché non so se sia giusta o meno, il metodo di risoluzione mi sembra discutibile e a volte credo di non essere troppo chiaro. Comunque il problema è questo:
Dato un angolo $\Theta$ formato da due semirette r ed s con centro in $O$ prendiamo un punto $A$ su r e un punto $B$ su s, dopodiché costruiamo una linea spezzata tra A e B tramite un punto $V$ interno all'angolo. L'unica limitazione è che $AV+BV=L$, con L una lunghezza fissata. A,B e V sono mobili rispettivamente lungo le rette su cui giacciono e lungo la linea spezzata.
Trovare l'area massima d $AOBV$ in funzione di $L$ e $\Theta$.

Cosa ne pensate? Può andare come dimostrazione o è tutto sbagliato? Mi raccomando, se avete critiche, suggerimenti o soluzioni alternative fatevi sentire!
Dato un angolo $\Theta$ formato da due semirette r ed s con centro in $O$ prendiamo un punto $A$ su r e un punto $B$ su s, dopodiché costruiamo una linea spezzata tra A e B tramite un punto $V$ interno all'angolo. L'unica limitazione è che $AV+BV=L$, con L una lunghezza fissata. A,B e V sono mobili rispettivamente lungo le rette su cui giacciono e lungo la linea spezzata.
Trovare l'area massima d $AOBV$ in funzione di $L$ e $\Theta$.

Cosa ne pensate? Può andare come dimostrazione o è tutto sbagliato? Mi raccomando, se avete critiche, suggerimenti o soluzioni alternative fatevi sentire!
Risposte
Temo che con queste impostazioni "fisiche" variabili tu ti stia solo complicando la vita. (A meno che tu lo stia facendo di proposito...)
Nella prima impostazione affermi che "affinché nessuno dei punti si muova è sufficiente che V non si muova." Ma A e B potrebbero spostarsi lungo le semirette, pur rispettando la condizione \(\displaystyle AV+VB=L \)
Visto che la maggior parte dei ragionamenti sono geometrici, a me sembra più semplice ragionare direttamente sulla geometria.
Nella prima impostazione affermi che "affinché nessuno dei punti si muova è sufficiente che V non si muova." Ma A e B potrebbero spostarsi lungo le semirette, pur rispettando la condizione \(\displaystyle AV+VB=L \)
Visto che la maggior parte dei ragionamenti sono geometrici, a me sembra più semplice ragionare direttamente sulla geometria.
"coleridge":
[...] a me sembra più semplice ragionare direttamente sulla geometria.
Trigonometria e analisi matematica di 5° Liceo
"dan95":
Trigonometria e analisi matematica di 5° Liceo
Bastano ellisse e circonferenza... più trigonometria per esprimere l'area massima :p
Analisi matematica per trovare il valore massimo dell'area, come faresti solo con la trigonometria?
Scusa, mi sono espresso male: la configurazione di area massima si può trovare con la sola geometria; con la trigonometria si calcola un'espressione esplicita per l'area.
(Ma mi accorgo ora di aver supposto \(\displaystyle \Theta < \pi \) ... devo pensarci un po')
(Ma mi accorgo ora di aver supposto \(\displaystyle \Theta < \pi \) ... devo pensarci un po')
mi spieghereste come avreste fatto per favore? perché proprio per il fatto che A e B si muovono non capivo come poter impostare un classico problema. Fosse stato solo V variabile allora ok, ma così non avevo idea di come impostarlo, perciò ho provato a pensare un po' fuori dagli schemi e mi è venuto questo (devo ammetterlo) macello
. Almeno la soluzione torna così?

Intanto il vertice $V$ del triangolo $AVB$ si muove su un'ellisse (infatti $AV+BV=L$ quindi l'ellisse ha fuochi $A$ e $B$). Da qui poi ti calcoli l'area massima del triangolo $AVB$ (visto che i fuochi sono $A$ e $B$ l'area è massima quando $AVB$ è isoscele, credo).
Per il triangolo $AOB$ ci devo ancora pensare.
Per il triangolo $AOB$ ci devo ancora pensare.
"Pachisi":
Intanto il vertice $V$ del triangolo $AVB$ si muove su un'ellisse (infatti $AV+BV=L$ quindi l'ellisse ha fuochi $A$ e $B$). Da qui poi ti calcoli l'area massima del triangolo $AVB$ (visto che i fuochi sono $A$ e $B$ l'area è massima quando $AVB$ è isoscele, credo).
Per il triangolo $AOB$ ci devo ancora pensare.
Sì, l'area è massima quando $V$ è sull'asse di $AB$.
Per $AOB$ puoi fissare $AB$ e far muovere $O$.
Si ma perché l'area è massima quando $AVB$ isoscele? Come lo dimostrate?
$A$ e $B$ sono fuochi di un'ellisse, e $V$ si muove sull'ellisse. Se $VH$ è l'altezza relativa a $AB$, $VH$ è massima quando è pari al semi asse minore dell'ellisse. Ossia, quando $AVB$ è isoscele. (se fai il disegno lo vedi subito)
Ah è vero!
In effetti fin lì è facile da dimostrare, ma....dopo?
"tommy1996q":
In effetti fin lì è facile da dimostrare, ma....dopo?
Dopo puoi cercare, tra tutti i punti $O$ che vedono $AB$ sotto lo stesso angolo $\theta$, quello più lontano da $AB$.
Ma io credo che $\Delta_{AOB}=\frac{OA \cdot OB \sin(\theta)}{2}$
Potrei sbagliarmi visto che con questo tipo di problemi sto fuori allenamento
Potrei sbagliarmi visto che con questo tipo di problemi sto fuori allenamento
"dan95":
Ma io credo che $\delta_{AOB}=\frac{OA \cdot OB \sin(\theta)}{2}$
Potrei sbagliarmi visto che con questo tipo di problemi sto fuori allenamento
Per essere giusto, è giusto. Perché l'avversativa?
O meglio, come vuoi usare questa formula, cosa fissi e cosa fai variare?
Quello che rimane costante è $OA$ e $OB$, l'area massima si ottiene per $\theta=90°$
Ma $\theta$ è fissato.
E se non vuoi interferire con l'area di $ABV$ devi fissare anche $AB$.
E se non vuoi interferire con l'area di $ABV$ devi fissare anche $AB$.
"dan95":
Quello che rimane costante è $OA$ e $OB$, l'area massima si ottiene per $\theta=90°$
eh no, le uniche limitazioni sono $AV+BV=L$ e l'angolo deve essere fisso. A e B si possono muovere a tali condizioni
Vedete un po' se fila il seguente ragionamento:
Data una qualsiasi configurazione in cui $AV+BV=l$, vediamo come possiamo maggiorare l’area di $AOBV$.
Se $AO\ne BO$ possiamo ruotare il triangolo $ABV$ (tenendo sempre $A$ e $B$ su $r$ ed $s$) in modo da aver $AOB$ isoscele e quindi di superficie $>=$ a quella di qualsiais triangolo di base $AB$ e angolo opposto $\theta$.
Per quanto riguarda $ABV$, a parità di base $AB$, il massimo si ha per $AV=BV$. Pertanto qualsiasi configurazione può essere maggiorata da una simmetrica rispetto alla bisettrice di $theta$.
Tra tutte quelle che godono di questa simmetria, la massima è quella per cui anche $AVO$ (ed anche il suo simmetrico ovviamente) è isoscele, massimo tra tutti quelli aventi uguale base $l/2$ e stesso abgolo al vertice $\theta/2$ .
Facendo un po' di conti, viene $S_{max}=frac{l^2} {8 \tan(\theta/4)}$.
Data una qualsiasi configurazione in cui $AV+BV=l$, vediamo come possiamo maggiorare l’area di $AOBV$.
Se $AO\ne BO$ possiamo ruotare il triangolo $ABV$ (tenendo sempre $A$ e $B$ su $r$ ed $s$) in modo da aver $AOB$ isoscele e quindi di superficie $>=$ a quella di qualsiais triangolo di base $AB$ e angolo opposto $\theta$.
Per quanto riguarda $ABV$, a parità di base $AB$, il massimo si ha per $AV=BV$. Pertanto qualsiasi configurazione può essere maggiorata da una simmetrica rispetto alla bisettrice di $theta$.
Tra tutte quelle che godono di questa simmetria, la massima è quella per cui anche $AVO$ (ed anche il suo simmetrico ovviamente) è isoscele, massimo tra tutti quelli aventi uguale base $l/2$ e stesso abgolo al vertice $\theta/2$ .
Facendo un po' di conti, viene $S_{max}=frac{l^2} {8 \tan(\theta/4)}$.