Problema 5 SNS 2015

[tommy1996q]

Di questo problema propongo questa "soluzione". Metto le virgolette perché non so se sia giusta o meno, il metodo di risoluzione mi sembra discutibile e a volte credo di non essere troppo chiaro. Comunque il problema è questo:

Dato un angolo $\Theta$ formato da due semirette r ed s con centro in $O$ prendiamo un punto $A$ su r e un punto $B$ su s, dopodiché costruiamo una linea spezzata tra A e B tramite un punto $V$ interno all'angolo. L'unica limitazione è che $AV+BV=L$, con L una lunghezza fissata. A,B e V sono mobili rispettivamente lungo le rette su cui giacciono e lungo la linea spezzata.

Trovare l'area massima d $AOBV$ in funzione di $L$ e $\Theta$.

Allora, vi propongo questa soluzione conscio che potrebbero essere tutte ca....te.
Non sapevo come impostare un classico problema di massimo e minimo perché le variabili erano troppe (e ti pare se la Normale a volte fa cose normali?!), ho ragionato così:

Immaginiamo che il quadrilatero $AOVB$ sia la base di un parallelepipedo avente una certa altezza. Questo solido è costruito in modo tale che l'angolo $\Theta$ rimanga costante ma che tutto il resto possa variare. Ora riempiamo il parallelepipedo con dell'acqua a una certa pressione, che per comodità sarà pari a $1(Kg)/m^2$. Inoltre porremo che non vi siano forze esterne.

L'acqua tenderà a espandere al massimo il solido, con una forza che è pari alla pressione (che per comodità abbiamo posto 1) per l'area di base. Allora essendo la pressione costante la forza dipenderà dall'area delle superfici, e ponendo l'altezza del solido pari a 1,abbiamo che le forza agenti su V sono vettori $A(1)V$ e $B(1)V$ con direzione ortogonale a $AV$ e $VB$ e modulo pari a $AV$ e $VB$.

Osserviamo che in tale stato il solido è immobile, ovvero nessuno dei punti V,A e B si muove. Abbiamo che affinché nessuno dei punti si muova è sufficiente che $V$ non si muova. Infatti se V cambia, allora cambia anche la sua distanza da r e da s, per cui A e B devono "adattarsi" agli spostamenti di V.

Ecco dunque un disegno con le forze agenti su V:


Adesso sommiamo le forze rappresentate dai vettori $VA(1)$ e $VB(1)$. Otteniamo così il punto V(1) e unendo tale punto a A(1) e a B(1) otterremo un parallelogramma. Adesso ci resta da vedere che parallelogramma è.

Consideriamo un altro esperimento, stavolta consideriamo O un punto per mezzo del quale tutta la struttura (che ipotizziamo essere praticamente senza massa) è appesa ad un soffitto. Immaginiamo che fra A e B (i quali sono immaginati come punti che in qualche modo possono scorrere lungo r e s) vi sia una qualche specie di tubo molto flessibile e che all'interno del tubo vi sia un peso che lo piega fino a fargli assumere la forma di una linea spezzata. Non ci interessa studiare questo esperimento, ci basta notare che di tutte le possibili configurazioni ottenibili variando l'angolo fra una delle rette e il soffitto vi avremo anche la configurazione di area maggiore da noi cercata. In ogni caso, comunque, il peso tenderà naturalmente a "cadere" il più possibile, arrestandosi nel punto a potenziale gravitazionale minore, punto che sarà allineato al centro di massa della terra, ma anche al punto per il quale la struttura è attaccata al soffitto, ovvero il punto O, così che la reazione vincolare del piano contrasti la forza di gravità e mantenga il sistema in equilibrio.


Allora abbiamo ottenuto un' altra informazione, cioè che O,V e V(1) sono allineati, come in figura:


Allora ci chiediamo qual è quella figura geometrica tale da cui, costruendo un tale parallelogramma partendo dai suoi lati, si ricavano 3 punti allineati come in figura.

La risposta che mi sono dato è che tale figura è il deltoide. Per giustificare tale risposta notiamo che gli angoli $A(1)VB(1) $ e $AVB$ sono complementari per costruzione. Inoltre si può facilmente dimostrare che i 2 triangoli $V(1)VB(1)$ e $AVB$ sono congruenti (anche se dal disegno non sembra )

Immaginiamo poi che la nostra costruzione sia una certa trasformazione, che trasforma A in A(1), B in B(1) e V in V(1). Allora notiamo che essa scambia le lunghezze di $AV$ e $BV$, in modo tale che $A(1)V(1)=BV$ e $B(1)V(1)=AV$. Da tutte queste informazioni deduciamo che la figura cercata è un deltoide.


Adesso ci domandiamo: di tutti i deltoidi con un dato perimetro ($AV+BV=L$ per ipotesi, quindi $2p=2L$), qual è quello di area massima?

Senza risolvere questo problema di massimo, riprendiamo il primo esperimento. Notiamo che la configurazione per cui l'espansione è massima deve essere unica, come unico è il punto di massimo di una funzione. Tuttavia ponendo $AV diverso BV$ vi sarebbero 2 soluzioni simmetriche. Il deltode cercato è quindi un rombo di lato $L/2$ e angolo $\Theta$

Con un po' di trigonometria otteniamo infine che l'area è $(L^2/4)sen(\Theta)$

Cosa ne pensate? Può andare come dimostrazione o è tutto sbagliato? Mi raccomando, se avete critiche, suggerimenti o soluzioni alternative fatevi sentire!

[coleridge1]

Temo che con queste impostazioni "fisiche" variabili tu ti stia solo complicando la vita. (A meno che tu lo stia facendo di proposito...)
Nella prima impostazione affermi che "affinché nessuno dei punti si muova è sufficiente che V non si muova." Ma A e B potrebbero spostarsi lungo le semirette, pur rispettando la condizione \(\displaystyle AV+VB=L \)

Visto che la maggior parte dei ragionamenti sono geometrici, a me sembra più semplice ragionare direttamente sulla geometria.

[dan952]

"coleridge":[...] a me sembra più semplice ragionare direttamente sulla geometria.

Trigonometria e analisi matematica di 5° Liceo

[coleridge1]

"dan95":Trigonometria e analisi matematica di 5° Liceo

Bastano ellisse e circonferenza... più trigonometria per esprimere l'area massima :p

[dan952]

Analisi matematica per trovare il valore massimo dell'area, come faresti solo con la trigonometria?

[coleridge1]

Scusa, mi sono espresso male: la configurazione di area massima si può trovare con la sola geometria; con la trigonometria si calcola un'espressione esplicita per l'area.
(Ma mi accorgo ora di aver supposto \(\displaystyle \Theta < \pi \) ... devo pensarci un po')

[tommy1996q]

mi spieghereste come avreste fatto per favore? perché proprio per il fatto che A e B si muovono non capivo come poter impostare un classico problema. Fosse stato solo V variabile allora ok, ma così non avevo idea di come impostarlo, perciò ho provato a pensare un po' fuori dagli schemi e mi è venuto questo (devo ammetterlo) macello . Almeno la soluzione torna così?

[Pachisi]

Intanto il vertice $V$ del triangolo $AVB$ si muove su un'ellisse (infatti $AV+BV=L$ quindi l'ellisse ha fuochi $A$ e $B$). Da qui poi ti calcoli l'area massima del triangolo $AVB$ (visto che i fuochi sono $A$ e $B$ l'area è massima quando $AVB$ è isoscele, credo).
Per il triangolo $AOB$ ci devo ancora pensare.

[coleridge1]

"Pachisi":Intanto il vertice $V$ del triangolo $AVB$ si muove su un'ellisse (infatti $AV+BV=L$ quindi l'ellisse ha fuochi $A$ e $B$). Da qui poi ti calcoli l'area massima del triangolo $AVB$ (visto che i fuochi sono $A$ e $B$ l'area è massima quando $AVB$ è isoscele, credo).
Per il triangolo $AOB$ ci devo ancora pensare.

Sì, l'area è massima quando $V$ è sull'asse di $AB$.
Per $AOB$ puoi fissare $AB$ e far muovere $O$.

[dan952]

Si ma perché l'area è massima quando $AVB$ isoscele? Come lo dimostrate?

[Pachisi]

$A$ e $B$ sono fuochi di un'ellisse, e $V$ si muove sull'ellisse. Se $VH$ è l'altezza relativa a $AB$, $VH$ è massima quando è pari al semi asse minore dell'ellisse. Ossia, quando $AVB$ è isoscele. (se fai il disegno lo vedi subito)

[dan952]

Ah è vero!

[tommy1996q]

In effetti fin lì è facile da dimostrare, ma....dopo?

[coleridge1]

"tommy1996q":In effetti fin lì è facile da dimostrare, ma....dopo?

Dopo puoi cercare, tra tutti i punti $O$ che vedono $AB$ sotto lo stesso angolo $\theta$, quello più lontano da $AB$.

$O$ può muoversi su un arco di circonferenza

[dan952]

Ma io credo che $\Delta_{AOB}=\frac{OA \cdot OB \sin(\theta)}{2}$
Potrei sbagliarmi visto che con questo tipo di problemi sto fuori allenamento

[coleridge1]

"dan95":Ma io credo che $\delta_{AOB}=\frac{OA \cdot OB \sin(\theta)}{2}$
Potrei sbagliarmi visto che con questo tipo di problemi sto fuori allenamento

Per essere giusto, è giusto. Perché l'avversativa?
O meglio, come vuoi usare questa formula, cosa fissi e cosa fai variare?

[dan952]

Quello che rimane costante è $OA$ e $OB$, l'area massima si ottiene per $\theta=90°$

[coleridge1]

Ma $\theta$ è fissato.
E se non vuoi interferire con l'area di $ABV$ devi fissare anche $AB$.

[tommy1996q]

"dan95":Quello che rimane costante è $OA$ e $OB$, l'area massima si ottiene per $\theta=90°$

eh no, le uniche limitazioni sono $AV+BV=L$ e l'angolo deve essere fisso. A e B si possono muovere a tali condizioni

[Sk_Anonymous]

Vedete un po' se fila il seguente ragionamento:

Data una qualsiasi configurazione in cui $AV+BV=l$, vediamo come possiamo maggiorare l’area di $AOBV$.
Se $AO\ne BO$ possiamo ruotare il triangolo $ABV$ (tenendo sempre $A$ e $B$ su $r$ ed $s$) in modo da aver $AOB$ isoscele e quindi di superficie $>=$ a quella di qualsiais triangolo di base $AB$ e angolo opposto $\theta$.
Per quanto riguarda $ABV$, a parità di base $AB$, il massimo si ha per $AV=BV$. Pertanto qualsiasi configurazione può essere maggiorata da una simmetrica rispetto alla bisettrice di $theta$.
Tra tutte quelle che godono di questa simmetria, la massima è quella per cui anche $AVO$ (ed anche il suo simmetrico ovviamente) è isoscele, massimo tra tutti quelli aventi uguale base $l/2$ e stesso abgolo al vertice $\theta/2$ .
Facendo un po' di conti, viene $S_{max}=frac{l^2} {8 \tan(\theta/4)}$.