Probabilità in geometria piana

[Londer1995]

Buonasera a tutti. Un problemino con il quale ci siamo divertiti (scervellati!) stasera con un mio amico e che ho deciso di proporre anche a voi!

Vi viene data una circonferenza e, su questa, avete 3 punti: calcolate la probabilità che il centro di trovi nell’ipotetico triangolo formato unendo i 3 punti.

Si potrebbe partire dai casi limite:
-2 punti coincidono, affinché il centro della circonferenza sia contenuto nel “triangolo”, il 3o punto dovrà stare diametralmente opposto ai primi 2.
-2 punti sono diametralmente opposti, la posizione del 3o punto diventa irrilevante.


In realtà il problema originale non era così ma, cercando, non è mai stato proposto (o chiesta la soluzione) in nessuno dei due casi; diciamo che così è un po’ semplificato!

Ancora buona serata a tutti

[anto_zoolander]

Volendo cominciare la discussione: dato $C$ il centro delle circonferenza direi che la probabilità sarà $P(vartheta)=vartheta/(2pi)$ dove presi due punti $P,Q$ a caso $vartheta$ è l’angolo tra i vettori $vec(CP),vec(CQ)$

[Vincent46]

Ho fatto due calcoli a mente, quindi spero di non sbagliare. (Supponendo che i punti siano scelti uniformemente nel disco!)

1/4?

EDIT: ok, letto male, i punti sono presi nella circonferenza e non nel disco ma il ragionamento (e i risultato) dovrebbero essere i medesimi!

[Lo_zio_Tom]

Confermo $1/4$ senza fare conti e mi sembra un quesito piuttosto elementare....

il primo punto A è indifferente dove venga scelto ($p=1$) e funge da "angolo zero". Ora è sufficiente che gli altri punti B e C siano su due semicirconferenze diverse ($p=1/2$) e che contemporaneamente il terzo punto abbia un angolo minore del secondo se il primo punto è $in [0,pi]$ oppure maggiore se il secondo punto $in [pi, 2pi]$ $rarr p=1/2$.

Ergo, $1/2*1/2=1/4$

[giammaria2]

Io ottengo un risultato diverso: dove sbaglio?

Nomino i vertici del triangolo in modo che sia $alpha<=beta<=gamma$; ne consegue che si ha $0<=alpha<=pi/3$.
Ricordo che il circocentro è interno al triangolo se e solo se il triangolo è acutangolo, cioè se $gamma$ è acuto (o retto).
- Per $alpha>=pi/4$ si ha $beta>=pi/4$ e quindi $gamma<=pi/2$; il triangolo è acutangolo.
- Per $alpha=beta$ ricavo $gamma>=(pi-alpha)/2$: questo è il valore minimo di $gamma$, mentre il valore massimo è $gamma=pi-2alpha$ (ottenibile con $beta=alpha$), quindi $gamma$ varia su un intervallo di lunghezza
$pi-2alpha-(pi-alpha)/2=(pi-3alpha)/2$
In questo caso $gamma$ è acuto se varia nell'intervallo $((pi-alpha)/2, pi/2)$, di ampiezza $alpha/2$, quindi
$p("acutangolo")={((alpha/2)/((pi-3alpha)/2)=alpha/(pi-3alpha) if 0<=alpha<=pi/4),(1 if pi/4<=alpha<=pi/3):}$

[Lo_zio_Tom]

@giammaria: no, non mi convince. Provo a spiegare meglio il mio ragionamento (che immagino sia lo stesso di @vincent46)

Scegliamo a caso un punto A sulla circonferenza e usiamolo come origine (zero gradi)

Se il punto $B in(0;pi) rarr P(B)=1/2$ allora affinché il terzo punto sia il vertice di un triangolo contenente il centro della circonferenza è sufficiente che C venga scelto nell'arco $(pi;B+pi)$. Tale probabilità equivale a quella che C cada in $(0;B)$

Ora, dato che i punti sono distribuiti uniformemente ed in modo indipendente sulla circonferenza, la probabilità $P(C
Discorso speculare se il punto $B in(pi;2pi)$

quindi alla fine la probabilità richiesta risulta $1/4$

secondo me questo ragionamento è corretto e mi pare molto simile a QUESTO

[giammaria2]

Sì, sei riuscito a convincermi e, ad abundantiam, aggiungo un'altra dimostrazione.
Resta però una domanda: dove ho sbagliato?

Il maggiore degli angoli di un triangolo varia nell'intervallo $(pi/3,pi)$, di lunghezza $(2 pi)/3$.
Il centro è interno se quell'angolo è acuto, cioè se varia nell'intervallo $(pi/3, pi/2)$, di lunghezza $pi/6$.
La probabilità che questo avvenga è quindi $(pi/6)/((2 pi)/3)=1/4$

Per il mio precedente intervento, ho pensato che occorreva completarlo eliminando la dipendenza da $alpha$. Poiché la probabilità che $alpha$ cada in $(pi/4,pi/3)$ è $1/4$, ho calcolato
$(int_(pi/4)^(pi/3) 1/4 d alpha+int_0^(pi/4)3/4* alpha/(pi-3 alpha) d alpha):pi/3$
Il risultato però non è quello voluto.

[Erasmus_First]

"Londer1995":[...] una circonferenza e, su questa, avete 3 punti: calcolate la probabilità che il centro di trovi nell’ipotetico triangolo formato unendo i 3 punti.

Il problema non è ben posto!
A parte il fatto che non dici che i tre punti sulla circonferenza hanno una posizione casuale (cosa che è ovviamente sottintesa), non viene precisato con che tipo di casualità è costruito il triangol (cioè sonp scelti i vertici).
Ovviamente, la probabilità che il centro stia dentro al triangolo è la probabilità che esso sia acutangolo (e la probabilità che stia fuori è la probabilità che il triangolo sia ottusangolo). [La probabilità che sia rettangolo, cioè che il centro non sia né dentro né fuori ma proprio sul perimetro, è infinitesima, cioè trascurabile].

Dico un modo semplicissimo in cui la probabilità richiesta è 1/2.
a) Traccio una corda a caso e chiamo A e B i suoi estremi sulla circonferenza; poi giro il cerchio in modo che la corda sia il confine tra un segmento circolare di destra ed uno di sinistra.
b) Lancio un dado (con le facce numerate da 1 a 6). Se viene pari (2, 4 o 6) segno un punto C sull'arco di circonferenza a destra della corda (non conta dove, purché sia a destra); se viene dispari (1, 3 o 5) segno un punto C sull'arco di sinistra.
Ovviamente, [se il dado è fatto bene] il triangolo ABC ha probabilità 1/2 di essere acutangolo (ed 1/2 di essere ottusangolo, (essendo trascurabile la probabilità che la corda a caso sia proprio un diametro).

Ci sono infiniti modi di costruire casualmente un triangolo inscritto nella data circonferenza. La probabilità che il triangolo sia o no acutangolo dipende dal modo (sempre casuale!) con cui il triangolo viene ostruito. Senza conoscere la modalità di costruzione del triangolo, la domanda "Con quale probabilità il centro del cerchio casca dntro al triangolo" non ha senso.
[Ed infatti, i miei predecessori, procedendo tutti casualmente ma con diverse modalitàm, arrivano a risultati non concordi!]
––––––––––––
Come esercizio si può richiedere la probabilità che il centro stia dentro proprio dicendo come viene costruito il triangolo.
Ecco allora un esercizietto di "teoria della probabilità".

[Premessa: Si consideri l'anomalia $\phi$ di un punto $P$ sulla circonferenza goniometrica come si fa quando si inizia a spiegare le funzioni circolari seno e coseno,
Cioè:
Sia $\gamma$ il cerchio "goniometrico" di raggio 1 e centro in $O(0, 0)$. Sia $r$ la semiretta di origine $O(0, 0)$ per $U(1,0)$.
Al punto $U(1, 0)$ si associ l'angolo $φ = 0$. Per ogni altro punto punto $P$ della circonferenza di $\gamma$ sia $s$ la semiretta di origine $O(0,0)$ per $P$, e si associ a $P$ l'angolo orientato $φ$ di lato-origine $r$ e e lato-termine $s$.
Questi angoli $φ$ (con $0 ≤ φ \ 2π$) sono in corrispondenza biunivoca con i punti $P$ della circonferenza. Diremo "anomalia di $P$" questo angolo φ (determinato come appena descritto descritto)
Fine della premessa].
«Si estraggano casualmente tre reali $[φ_A, φ_B, φ_C]$ compresi tra 0 e 2π esclusi (con probabilità uniforme su tutto l'angolo giro) e si segnino i corrispondenti punti $A$, $B$ e $C$ di rispettive anomalie $[φ_A, φ_B, φ_C]. Determinare la probabilità che il centro stia nel triangolo ABC.
_______

[Londer1995]

"Erasmus_First":[quote="Londer1995"][...] una circonferenza e, su questa, avete 3 punti: calcolate la probabilità che il centro di trovi nell’ipotetico triangolo formato unendo i 3 punti.

Il problema non è ben posto!
A parte il fatto che non dici che i tre punti sulla circonferenza hanno una posizione casuale (cosa che è ovviamente sottintesa), non viene precisato con che tipo di casualità è costruito il triangol (cioè sonp scelti i vertici).
Ovviamente, la probabilità che il centro stia dentro al triangolo è la probabilità che esso sia acutangolo (e la probabilità che stia fuori è la probabilità che il triangolo sia ottusangolo). [La probabilità che sia rettangolo, cioè che il centro non sia né dentro né fuori ma proprio sul perimetro, è infinitesima, cioè trascurabile].

Dico un modo semplicissimo in cui la probabilità richiesta è 1/2.
a) Traccio una corda a caso e chiamo A e B i suoi estremi sulla circonferenza; poi giro il cerchio in modo che la corda sia il confine tra un segmento circolare di destra ed uno di sinistra.
b) Lancio un dado (con le facce numerate da 1 a 6). Se viene pari (2, 4 o 6) segno un punto C sull'arco di circonferenza a destra della corda (non conta dove, purché sia a destra); se viene dispari (1, 3 o 5) segno un punto C sull'arco di sinistra.
Ovviamente, [se il dado è fatto bene] il triangolo ABC ha probabilità 1/2 di essere acutangolo (ed 1/2 di essere ottusangolo, (essendo trascurabile la probabilità che la corda a caso sia proprio un diametro).

Ci sono infiniti modi di costruire casualmente un triangolo inscritto nella data circonferenza. La probabilità che il triangolo sia o no acutangolo dipende dal modo (sempre casuale!) con cui il triangolo viene ostruito. Senza conoscere la modalità di costruzione del triangolo, la domanda "Con quale probabilità il centro del cerchio casca dntro al triangolo" non ha senso.
[Ed infatti, i miei predecessori, procedendo tutti casualmente ma con diverse modalitàm, arrivano a risultati non concordi!]
––––––––––––
Come esercizio si può richiedere la probabilità che il centro stia dentro proprio dicendo come viene costruito il triangolo.
Ecco allora un esercizietto di "teoria della probabilità".

[Premessa: Si consideri l'anomalia $\phi$ di un punto $P$ sulla circonferenza goniometrica come si fa quando si inizia a spiegare le funzioni circolari seno e coseno,
Cioè:
Sia $\gamma$ il cerchio "goniometrico" di raggio 1 e centro in $O(0, 0)$. Sia $r$ la semiretta di origine $O(0, 0)$ per $U(1,0)$.
Al punto $U(1, 0)$ si associ l'angolo $φ = 0$. Per ogni altro punto punto $P$ della circonferenza di $\gamma$ sia $s$ la semiretta di origine $O(0,0)$ per $P$, e si associ a $P$ l'angolo orientato $φ$ di lato-origine $r$ e e lato-termine $s$.
Questi angoli $φ$ (con $0 ≤ φ \ 2π$) sono in corrispondenza biunivoca con i punti $P$ della circonferenza. Diremo "anomalia di $P$" questo angolo φ (determinato come appena descritto descritto)
Fine della premessa].
«Si estraggano casualmente tre reali $[φ_A, φ_B, φ_C]$ compresi tra 0 e 2π esclusi (con probabilità uniforme su tutto l'angolo giro) e si segnino i corrispondenti punti $A$, $B$ e $C$ di rispettive anomalie $[φ_A, φ_B, φ_C]. Determinare la probabilità che il centro stia nel triangolo ABC.
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[/quote]


Hai ragione a dire che il problema non è ben posto, ma l’ho tradotto alla buona da un video che abbiamo visto qualche tempo fa, chiedo ammenda per aver trascurato (o sottinteso!) alcuni particolari dandoli per scontato!

Il problema non era posto perché mi servisse la soluzione, più che altro per far “scervellare” (direi più un passatempo per ammazzare il tempo!) altri oltre me

Complimenti per i ragionamenti, non per tutti è elementare

[giammaria2]

@ Erasmus_First
Hai ragione nel dire che il problema non era posto bene, ma credo che tutti l'abbiano interpretato nel senso del problema proposto da te.
Contesto però l'esempio con probabilità $1/2$. Detti AD e BE due diametri (che suppongo distinti) e supponendo che C vada posto sul maggiore degli archi $hat(AB)$, abbiamo la certezza che $hatC$ è acuto ma non quella che il triangolo sia acutangolo: se C cade su uno degli archi $hat(AE),hat(BD)$ è ottuso uno degli angoli $hatA,hatB$.