Primi

[axpgn]

1) Trovare il più grande $n$ tale che per ogni numero primo $p$ maggiore di $2$ e minore di $n$, la differenza $n-p$ è anch'essa un numero primo.

2) Trovare il massimo intero $n$ tale che per ogni primo $p$, con $p


Cordialmente, Alex

[Quinzio]

Per il primo, non capisco bene cosa si chiede: se $n= 9$, e prendo $p=3$, ho $9-3=6$ che non e' un numero primo.
Quindi la risposta e' $8$ ? Oppure $7$ ? Non capisco.

[axpgn]

Faccio un esempio ...

Supponiamo $n=7$
Quali sono i numeri primi maggiori di $2$ e minori di $7$? Il $3$ e il $5$
Quali sono in questo caso le differenze $n-p$? Sono $7-3=4$ e $7-5=2$
Queste differenze sono tutte numeri primi? No
Quindi $7$ non è il numero cercato.

[Quinzio]

"axpgn":Faccio un esempio ...

Ok.
Avevo supposto, sbagliandomi, che questa proprieta' cercata valesse sempre fino a un certo $n$ e quindi non valesse piu'.
Invece, se ho capito bene, per $n > n_0$ la proprieta' non vale. Per $n < n_0$ puo' valere o no.

[Quinzio]

Scusami, ma avrei bisogno di un altro chiarimento. Puoi fare un esempio di un $n$ per cui vale questa proprieta' ?

[axpgn]

Per esempio, il numero $5$.

Peraltro non ho capito cosa intendi dire con il post precedente al tuo ultimo ...

[Quinzio]

Va beh, aspettavo a vedere se arrivavano altre risposte, ma vado avanti comunque.
Avrei bisogni di un altro esempio, perche' con $n=5$ si deve usare il $p=2$ che pero' era stato escluso.
Inoltre avrei bisogno di un esempio che coinvolge piu' primi, ad es. 4 o 5 primi.

Il mio dubbio e' questo: se prendo la sequenza dei 'gap' tra i primi.
https://oeis.org/A001223
https://oeis.org/A001223/b001223.txt
e la proprieta' di cui stiamo parlando e' verificata, dovrei trovare una sotto-sequenza simmetrica, che parte dall'inizio della sequenza, tralasciando il primo gap dovuto al 2.
Ma questo non si verifica mai (almeno per i primi 100.000 primi).

Ad es. la sotto-sequenza dei primi 5 gaps: $(2, 2, 4, 2, 4)$ non e' simmetrica.
Ad essa infatti corrispondono i primi: $(3, 5, 7, 11, 13, 17)$.
Infatti $(3, 5, 7, 11, 13, 17)+(17, 13, 11, 7, 5, 3) = (20, 18, 18, 18, 18, 20)$.
In questo caso sarebbe $n=20$.
Il problema e' che nei primi 100.000 gaps non ci sono sotto-sequenze simmetriche.
Forse le sequenze simmetriche arrivano dopo ?
Sto sbagliando qualcosa ?

[axpgn]

L'ultima che hai detto

"Quinzio":Avrei bisogni di un altro esempio, perche' con $ n=5 $ si deve usare il $ p=2 $ che pero' era stato escluso.

Ma non è vero.
Riflettici, non confondere le cose

[Quinzio]

Quindi per $n=5$ l'unico primo $p$ che devo considerare e' $2 Per validare la proprieta' verifico che $n-p = 5-3 = 2$ sia primo. Nella verifica non c'e' la restrizione che $2 Ok, pero' si potrebbe mettere un chiarimento nel testo dell'esercizio ?

Quindi torno alla questione di partenza. A parte $n=5$ non ci sono altri $n$ che verificano la proprieta', giusto ?
Una dimostrazione non ce l'ho, ma e' equivalente a dimostrare che nella sequenza dei gaps dei numeri primi non ci sono sotto-sequenze simmetriche. Forse c'e' un qualche teorema che dice proprio questo, non so.

[axpgn]

"Quinzio":Ok, pero' si potrebbe mettere un chiarimento nel testo dell'esercizio ?

Non vedo il perché, è scritto chiaramente che $p$ deve essere un primo maggiore di $2$ e minore di $n$ mentre $n-p$ deve essere un primo e non un "primo maggiore di due".

Comunque non è $5$ il "più grande" ...

[dan952]

1)

$n=10$

Infatti sia $n>10$ un tale numero allora $n-3$, $n-5$ e $n-7$ sono primi, tuttavia abbiamo

$n-7 \equiv 1 \mod 7$

da cui

$n-5 \equiv 0 \mod 3$

Oppure

$n-7 \equiv 2 \mod 3$

Da cui

$n-3 \equiv 0 \mod 3$

Assurdo

Quindi necessariamente $n \leq 10$.

[axpgn]

Bene!


Cordialmente, Alex

[axpgn]

E la 2) ?