Polinomio

[giulylanza06]

000

[kobeilprofeta]

Sia f il polinomio
Se $f (0) $ è un numero primo (diciamo $q $), allora q è il termine noto; quindi
$f=a_nx^n+...+a_1x+q $

Ora mi basta valutare il polinomio in x=q
$f (q)=a_nq^n+...+a_1q+q=q*(a_nq^(n-1)+...+a_1+1) $ Che è primo sse $a_n=a_{n-1}=...=a_1=0$

[consec]

"kobeilprofeta":

Sia f il polinomio
Se $f (0) $ è un numero primo (diciamo $q $), allora q è il termine noto; quindi
$f=a_nx^n+...+a_1x+q $

Ora mi basta valutare il polinomio in x=q
$f (q)=a_nq^n+...+a_1q+q=q*(a_nq^(n-1)+...+a_1+1) $ Che è primo sse $a_n=a_{n-1}=...=a_1=0$

Non è mica vero... considera il termine noto $q=3$, allora i polinomi $P(x)=-2x+3$ e $P(x)=x^2-3x+3$ sono entrambi primi per $x=3$. C'è da dire però che il polinomio valutato in un multiplo del termine noto sarà sempre divisibile per il termine noto, e quindi dovendo essere primo, uguale a esso in valore assoluto per infiniti valori ma questo è impossibile se il grado del polinomio è diverso da zero.

[kobeilprofeta]

scusate... io ho supposto i coefficienti positivi

[Erasmus_First]

Basta dimostrare che, se il polinomio non è costante, per qualche x non è primo.
Allo scopo, se il termine noto è maggiore d $1$ o minore di $–1$, è sufficiente prendere x uguale al prodotto di tutti i coefficienti diversi da zero. Altrimenti, se per caso il polinomio risulta primo in tale x, continuare a moltiplicare x per un intero maggiore di 1 fino a che il polinomio non risulta divisibile per qualche intero diverso da $1$e da $-1$.

_______

[.Ruben.17]

Sia $p(x)=a_n x^n + ...+a_1 x + a_0$
Ora suppongo che tra i coefficienti $a_n, ..., a_1$ almeno uno sia diverso da 0
$p(1) = a_n + ...+ a_1 + a_0=q$, dove q è primo
Ora $p(1+q) = a_n (1+q)^n + a_{n-1} (1+q)^{n-1} +... + a_1 (1+q) + a_0= a_n + a_{n-1}+....+a_1 + a_0 + Q(q)= q+Q(q)$
Si vede(provando a sviluppare i primi binomi di newton) che Q(q) è un polinomio a coefficienti interi in q senza termine noto
Questo implica che $Q(q) = 0$ $mod$ $q$, quindi $p(1+q) = q + Q(q) = 0$ $mod$ $q$

Con il medesimo ragionamento si ha lo stesso risultato in modulo per $p(1+kq)$

Ora, i casi possono essere due:
1) il polinomio, se esiste un $k$ intero tale che $p(1+kq) \ne q$, non assume solamente valori primi; infatti necessariamente $p(1+kq)$ è composto.
2) $p(1+q) = p(1+2q)=...=p(1+kq) = q$, in questo modo il polinomio assume solamente valori primi
Ma un polinomio non può assumere infinite volte lo stesso valore, a meno che non sia costante. [Provate a dimostrare questo..]
Q.E.D.