Polinomi e derivate

[gugo82]

Problema:

Siano \(p(x)\) e \(q(x)\) due polinomi a coefficienti reali e \(c\in \mathbb{R}\).

Chiaramente, se è \(p(x)=q(x)\) ovunque, allora sono uguali tra loro tutte le derivate di \(p(x)\) e di \(q(x)\) calcolate in \(c\), cioé si ha:
\[
\begin{split}
p(c) &= q(c)\\
p^\prime (c) &= q^\prime (c)\\
p^{\prime \prime} (c) &= q^{\prime \prime} (c)\\
p^{\prime \prime \prime} (c) &= q^{\prime \prime \prime} (c)
\end{split}
\]
e così via all'infinito.[nota]Si ricordi che, per convenzione, la derivata \(0\)-esima (o di ordine zero) di una funzione è la funzione stessa.[/nota]

Domanda: è vero il viceversa?
In altre parole, se in \(c\) risultano uguali tutte le derivate di \(p(x)\) e \(q(x)\), si può dire che \(p(x)=q(x)\)?

[fab_mar9093]

Conoscendo le derivate in $c$ fino all'ordine $n$ e considerando un generico polinomio di grado $n$ a coefficienti incogniti ottengo un sistema lineare $n+1xn+1$ non omogeneo. Posso ordinare la matrice de coefficienti $n+1xn+1$ del sistema in modo da avere una matrice triangolare superiore. Essendo i termini sulla diagonale non nulli, la matrice ha rango pieno, quindi per Rouché-Capelli ammette una soluzione. Per ipotesi la soluzione esiste. Si verifica che la proprietà vale anche per un polinomio di ordine $n+1$. Per il principio di induzione allora la proprietà si può estendere a tutti i naturali e quindi, per unicità del polinomio, $p(x)=q(x)$. Almeno per me . Se qualcosa è orrendamente sbagliato, pietà!, che sono uno studente di ingegneria e non di matematica. Ho approfittato per essere battezzato da questa sezione

[Epimenide93]

Avviso: in spoiler è presente un accenno ad una possibile soluzione.

@seven

Per dirla come gli anglofoni, think simply. O come diciamo noi, non complicarti la vita Hint: Derivate prime uguali implica che le funzioni abbiano derivate uguali dal secondo ordine in poi, ed implica che abbiano la stessa famiglia di primitive, da quest'ultima affermazione... Non sono più esplicito in quanto suppongo che il quesito sia posto a chi ancora non ha visto una certa parte di teoria e dovrà cercare una dimostrazione o un controesempio con metodi più "artigianali", e immagino che qualcuno nonostante l'avviso aprirà questo spoiler prima di aver provato a trovare una soluzione da sé

[grimx]

Ciao,
In spoiler una mia soluzione:

La risposta per me è no. Basta infatti prendere due funzioni che differiscono per una costante...
Consideriamo come esempio le due funzioni $p(x)=x^3+1$ e $q(x)=x^3$, anche se hanno derivate uguali in $c$, esse sono diverse.

Non so se è giusto...però ci ho provato.

[Epimenide93]

@grimx

Era proprio il tipo di controesempio che volevo suggerire a seven col mio hint

Io proporrei un rilancio.

Dimostrare o confutare che le ipotesi del problema (esiste un punto \( c \in \mathbb{R} \) tale che le derivate in \( c \) dal primo ordine in poi sono uguali per le due funzioni polinomiali) sono sufficienti per dire che le due funzioni polinomiali sono identiche a meno di una costante additiva. Ovvero dimostrare o confutare che, detti \(\displaystyle p(x) \) e \(\displaystyle q(x) \) due polinomi a coefficienti reali \[ \displaystyle \exists c \in \mathbb{R} \ \forall i \in \mathbb{N} \setminus \{ 0 \} : p^{(i)}(c) = q^{(i)}(c) \iff \exists b \in \mathbb{R} : p(x) = q(x) + b \]

[grimx]

mmhh, per me le ipotesi sono sufficienti per affermare quello che hai detto...ovviamente se tutte le $i$-esime derivate sono uguali in un punto $c\in\mathbb{R}$ allora le due funzioni saranno uguali a meno di una costante $b$ additiva... non so mi sembra ovvio, o magari mi sono perso io qualche punto?

[vict85]

Gugo aveva imposto anche \(p(c) = q(c)\). Dovreste leggere bene il testo prima di confutare con un controesempio.

[grimx]

@vict85 Cavoli hai ragione! Scusate! Allora la risposta alla domanda è si.

[fab_mar9093]

"vict85":Gugo aveva imposto anche \(p(c) = q(c)\). Dovreste leggere bene il testo prima di confutare con un controesempio.

+1 per me

[vict85]

Comunque io propongo qualcosa di piu elementare.

Si noti che posso scrivere i due polinomi in \(x\) come polinomi in \(x-c\). Non è altro che un cambio di base. Siano quindi \( \displaystyle p(x) = \sum \frac{a'_i}{i!} (x-c)^i = \sum a_i x^i \) e \(\displaystyle q(x) = \sum \frac{b'_i}{i!} (x-c)^i = \sum b_i x^i \).

È evidente che \(a_i=b_i\) per ogni \(i\) se e solo se \(a'_i=b'_i\) per ogni \(i\). A questo punto è sufficiente derivare.

[Epimenide93]

"vict85":Gugo aveva imposto anche \(p(c) = q(c)\). Dovreste leggere bene il testo prima di confutare con un controesempio.

Vero, chiedo scusa, avevo ignorato completamente la nota

[xXStephXx]

Si può considerare il polinomio $d(x) = p(x)-q(x)$
Supponendo che $d(x)$ abbia grado $n > 0$, si ottiene che la sua derivata $n-esima$ è costante. Ma questa costante vale $0$. Di conseguenza il coefficiente del termine di grado massimo di $d(x)$ è $0$, visto che non si può annullare derivando fino a $n$ volte. Quindi $d(x)$ non è di grado $n>0$. Di conseguenza $d(x)$ ha grado $0$ e vale $d(x) = d(c) = p(c)-q(c)=0$.
Quindi $p(x)=q(x)$.

[vict85]

@xXStephXx: bella dimostrazione.