Polinomi, derivate e divisibilità

[Sk_Anonymous]

Esercizio. Trovare il più piccolo numero intero \(j\) tale che per ogni polinomio \(p(x)\) a coefficienti interi ed ogni intero \(k\) il numero \[p^{(j)} (k) = \frac{d^j}{d x^j} p(x)_{| x=k} \](\(j\)-esima derivata di \(p(x)\) calcolata in \(k\)) sia divisibile per \(2016\).

[kobeilprofeta]

Può essere
2016=0 mod (j!)
Quindi $j=8$

[anto_zoolander]

ho provato a farmi un’idea mentre guardavo un film e prima di mettere una possibile dimostrazione penso che debba essere $j=8$.
Se dovesse essere corretto edito con la dimostrazione

[Sk_Anonymous]

Sì, scrivi la dimostrazione.

[kobeilprofeta]

"kobeilprofeta":Può essere
2016=0 mod (j!)
Quindi $j=8$

questo è sbagliato?

[Sk_Anonymous]

@kobeilprofeta: sorry, non avevo notato la tua risposta. Il risultato e' corretto ma, per quanto possa essere "ovvio", quella non e' una dimostrazione che accetterei come sufficientemente esplicativa.

[Vincent46]

Immagino si tratti di polinomi a coefficienti interi?

$7$ non va bene; controesempio, $x^7$.
$8$ va bene; per $l$ intero maggiore o uguale a $8$ la derivata ottava del monomio $a x^l$ calcolata in $k$ è
$$l(l-1)...(l-7) a k^{l-8} ,$$ che è sempre divisibile per $2016$, in quanto nel prodotto $l(l-1) ... (l-7)$ saranno certamente presenti un fattore $32$, un fattore $9$ e un fattore $7$. Quindi la derivata ottava di ogni polinomio calcolata in $k$ è somma di termini divisibili per $2016$.

[Sk_Anonymous]

@Vincent46: yes! Ora correggo anche l'OP.

[anto_zoolander]

Dopo 20 minuti di scrittura ieri è andato tutto in crash ed ho mandato tutto a ca*are, quindi lo rifaccio ora con calma

L’obiettivo è quello di ridurre il più possibile all’osso le condizioni, giustificandole.

prima cosa: il polinomio nullo è divisibile per qualsiasi numero.

Ora mostriamo qualche condizione sufficiente per ridurre la situazione all’osso.
Un polinomio di grado minore o uguale a $n$ è sempre combinazione lineare di monomi monici. Ovvero i polinomi monici offrono una base per lo spazio dei polinomi di grado minore o uguale a $n$.

Sia $x^k$ monomio monico di grado $k>0$ e sia $p inZZ$
se $c|p^k$ allora $c|p^(k+1)$
Di fatto se $c|p^k$ allora $exists m inZZ$ tale che $p^k=c*m$ quindi $p^(k+1)=p^k*p=c(mp)=>c|p^(k+1)$
(Non vale il viceversa in generale)

Sia $x^k$ monomio monico come prima.
Se $c|p^k$ allora $c|a*p^k$

Siano $P_1(x),...,P_k(x)$ polinomi e sia $m inZZ$. Se $P_t(m)$ è divisibile per $c$ allora una qualsiasi combinazione lineare di $P_1,..,P_k$ è un polinomio divisibile per $c$.
Per ipotesi $existsm_1,...,m_k inZZ:P_t(m)=c*m_t,forallt=1,..,k$ pertanto $Q(m)=sum_(t=1)^(k)a_tP_t(m)=sum_(t=1)^(k)a_t(c*m_t)=c*sum_(t=1)^(k)(a_t*m_t)$

Dunque dato questo se ogni monomio(preso come monico) è divisibile per un intero $c$ una volta calcolato in un intero $p$ allora anche il ogni polinomio che è combinazione lineare di quei monomi sarà divisibile per $c$ una volta calcolato in un intero $p$. Ora il problema chiede che valga per ogni polinomio, quindi anche per i monomi monici.
Abbiamo visto che se dei monomi monici sono divisibili per un intero, allora anche una qualsiasi loro combinazione lineare lo è, ma non vale il viceversa poiché per esempio $x+x^2$ in $2$ è divisibile per $5$ ma presi singolarmente non lo è nessuno dei due.

Ora quindi di tutti i monomi monici possibili, derivando $j$ volte, gli unici che sopravvivono sono quelli di grado $geqj$ visto che gli altri sono tutti nulli e in particolare il più piccolo che sopravvive è quello di grado $j$.
Dovendo essere $(dx^k)/(d^jx)={((k!)/((k-j)!)x^(k-j) if kgeqj),(0 if k Quindi il più piccolo superstite si ha per $k=j$ che sarà $(dx^k)/(d^k x)=k!$ e quindi sarà divisibile per $2016$ per un qualsiasi intero se $kgeq8$ e non è divisibile per $2016$ se $k=0,..,7$

Ora dalla relazione $(dx^(k+1))/(dx)=(k+1)x^k$ si nota subito che se $p^k$ è divisibile per $c$ anche $(k+1)p^k$ lo è. Questo significa che se derivando un monomio monico di grado $k$ esattamente $k$ volte il numero è divisibile per $c$ allora la derivata $k-$esima di tutti i monomi monici di grado maggiore calcolata in un qualsiasi $p$ è divisibile per $c$

Quindi abbiamo visto che l’essere $j=8$ è sufficiente affinché valga quella proprietà perché tutti i monomi monici di grado $<8$ diventano nulli e quindi sono divisibili per $2016$. Tutti i monomi monici di grado $geq8$ hanno in comune $8!$ che è divisibile per $2016$ e pertanto $j=8$ è il minimo ordine per cui vale quella proprietà.

Non può essere $j=7$ poiché $7!$ non è divisibile per $2016$.

Forse ho esagerato

PS: ma la condizione che il polinomio sia a coefficienti interi è necessaria? Essendo i polinomi a coefficienti interi strettamente inclusi in quelli razionali e reali, in teoria ‘basta’ verificarlo per quelli a coefficienti interi ma in realtà dovrebbe valere per tutti.

[Sk_Anonymous]

@anto: l'hai fatta lung(hissim)a, ma mi sembra corretto. Direi che i coefficienti interi servano per poter parlare di "divisibilità". Altrimenti che senso ha l'esercizio, per esempio, per \(\pi x^8\)?

[anto_zoolander]

Ci ho messo passione, ci tenevo a giustificare tutto

[Erasmus_First]

Cerco di farla breve!
a) Per grado n inferiore a j la derivata j-esima di $k_n x^n$ è nulla e quindi sempre divisibile per 2016.
b) Per n ≥ j, potendo essere qualsiasi i coefficienti dei monomi addendi di un polinomio, deve essere divisibile per 2016 il coefficiente della derivata j-esima di ogni monomio addendo (che è del tipo $k_n x^n$); deve dunque essere divisibile per 2016 il prodotto
$n·(n-1)·(n–2)· ... · (n-j+1)$
il quale è sempre divisibile per $j!$ perché di m interi consecutivi ce n'è sempre uno (e uno solo) divisibile per m
c) Siccome $2016 =2^5·3^2·7$ e per $j<7$ $j!$ non contiene il fattore 7 presente in 2016, dovrà esserem j > 6.
Per j =7 abbiamo:
$7! = $5·(2^4·3^2·7)$ .
Ci siamo quasi, ma non del tutto perché manca ancora un fattore 2.
d) Per j = 8 ... ci siamo!
Infatti: $8! = 20·(2^5·3^2·7)$.
Dunque $j!$ è divisibileoper $2016 = 2^5·3^2·7$ per tutti gli interi j maggori di 7, dei quali il minimo è 8,
_______

[Sk_Anonymous]

@Erasmus: molto bene!