Pizza

[axpgn]

Dato un punto qualsiasi all'interno di un cerchio, tracciate tre corde passanti per esso in modo tale che formino sei angoli di $60°$.
Colorate le sei "fette di pizza" risultanti alternativamente di bianco o di nero.

L'area bianca è sempre uguale all'area nera?
Ed invece quattro corde che formano otto angoli a $45°$?


Cordialmente, Alex

[Quinzio]

L'area bianca è sempre uguale all'area nera?

No, tranne casi particolari.
E' sufficiente mettere il punto adiacente alla circonferenza con una corda tangente alla circonferenza.
Le altre 2 corde formano un triangolo equilatero. L'area nera (ad es.) del triangolo equilatero e' di $\pi/3 + 128/150$, mentre l'area bianca e' di $2/3 \pi - 128/150$, supponendo una circonferenza di raggio unitario.

Piu' in generale, supponiamo che una delle corde sia orizzontale, come nella figura, e poniamo il punto nella zona diciamo in alto sulla destra.
Si vede chiaramente, ma e' banale da formalizzare, che le due corde disposte ad X hanno lunghezze diverse.
Supponiamo uno spostamento piccolo del punto in senso orizzontale.
La corda orizzontale non cambia posizione, mentre delle due corde disposte ad X, una "mangia" una striscia nera, e l'altra una striscia bianca. Siccome le corde hanno lunghezza diversa, vengono mangiate aree diverse. Se anche prima le due aree nera e bianca erano uguali, dopo non lo sono piu'.

Ed invece quattro corde che formano otto angoli a 45°?

Si, l'area bianca e' sempre uguale a quella nera.

Sia la circonferenza di raggio unitario, il punto in posizione $(x_0, y_0)$ e una corda in posizione orizzontale.
Calcoliamo l'area netta "mangiata" dalla corda orizzontale per uno spostamento infinitesimale del punto $(dx. dy)$.

$dA = -(\sqrt(1-y_0 ^2)-x_0) dy+ (x_0 + \sqrt(1-y_0 ^2)) dy= 2 x_0 \ dy $

Per le corde orizzontale e verticale:

$dA_0 = 2(x_0 \ dy - y_0\ dx)$

Per le corde a 45°, prendiamo la stessa formula, ma dopo aver effettuato una rotazione di 45° con la trasformazione

$x -> (y+x)/\sqrt2$

$y -> (y-x)/\sqrt2$


$dA_1 = - [(x_0+y_0) (dy -dx) - (y_0 - x_0)(dx+dy)]$

Siccome $dA_0 +dA_1 = 0$, si conclude che per uno spostamento infinitesimo del punto, le aree bianca e nera non cambiano.
Partendo dal punto in posizione centrale, dove le aree sono uguali, si arriva a qualsiasi altro punto attraverso una sequenza di spostamenti infinitesimi, durante i quali le aree non cambiano.
Conclusione: le due aree sono sempre uguali.

[giammaria2]

Faccio una piccola aggiunta alla bella soluzione di Quinzio e do la formula risolutiva per un caso particolare.

O è il centro, A è il punto per cui traccio le rette.
Se O sta su una di quelle rette, la figura è simmetrica rispetto ad OA ed a ogni area bianca ne corrisponde una uguale nera; perciò l'area complessiva $S_b$ delle bianche è uguale a quella $S_n$ delle nere. Credo che sia l'unico caso in cui sono uguali; vi rientra il caso in cui O coincide con A.

Nel caso in cui A sta sulla circonferenza, due fette scompaiono e altre due diventano segmenti di cerchio. Posto $r=1$ ed indicando con $alpha$ (in radianti) il più piccolo degli angoli fra OA e le rette, ottengo
$S_(b,n)=pi/2+-(-alpha+sin2 alpha)$
Il + spetta al colore della fetta in cui si trova O. L'angolo $alpha$ può variare da $0$ a $pi/6$ ed in questo intervallo la parentesi è crescente.

[axpgn]

Bravi

Le aree sono sempre uguali se il numero delle corde è pari ma non $2$

Ecco una dimostrazione per dissezione del caso $n=4$.



Per una discussione più ampia vedete "S.Rabinowitz - Ptolemy's Legacy"

[Quinzio]

Di Formaggio e Croste:
Una Prova Della Congettura Della Pizza
E Altri Risultati Gustosi.
http://www.cs.umd.edu/~gasarch/BLOGPAPERS/pizza.pdf



E per gli amanti del calzone, si parla anche del calzone.