Più e meno

[axpgn]

Supponiamo di avere una griglia dalle dimensioni $2001 xx 2001$, inizialmente tutta riempita di segni "più" e segni "meno", un solo segno per cella.
Poi, mossa dopo mossa, l'obiettivo è quello di riempirla di soli segni "più".
Ogni mossa consiste nello scegliere, di volta in volta, una opportuna sottogriglia dalle dimensioni di $1000 xx 1000$ oppure di $1001 xx 1001$ e invertire tutti i segni della sottogriglia ovvero i "più" diventano "meno" e i "meno" diventano "più".

È possibile riempire inizialmente la griglia in modo tale da rendere impossibile il raggiungimento dell'obiettivo?


Cordialmente, Alex

[dan952]

Hint...

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Un piccolissimo hint potrebbe essere questo ...

Parità

Cordialmente, Alex

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Nessuno?


Cordialmente, Alex

[axpgn]

Ecco una soluzione ...

Chiamo $G$ l'insieme delle celle della griglia originale $2001 xx 2001$ (cardinalità dispari)
Chiamo $G'$ l'insieme delle celle della griglia $G$ a cui sottraggo la riga di mezzo (la milleunesima) - (cardinalità pari).
Ogni intersezione tra $G'$ e una qualsiasi sottogriglia $1000 xx 1000$ ha cardinalità pari (avrà sempre mille colonne), così pure ogni intersezione tra $G'$ e una qualsiasi sottogriglia $1001 xx 1001$ ha cardinalità pari (avrà sempre mille righe).
Perciò se riempio inizialmente $G'$ con un numero dispari di segni più, non potrò mai riempirla con tutti segni più con la procedura descritta.

Cordialmente, Alex

[dan952]

Molto carina la soluzione, alla fine non ci ho più pensato.

[axpgn]