Piegare

[axpgn]

Supponiamo che il primo quadrante del piano cartesiano sia un enorme foglio di carta.
Fissiamo una costante $K$ e immaginiamo di piegare l'angolo in $(0,0)$ su un punto $P$ del foglio, in modo tale che il triangolo così generato abbia area $K$.

Determinare il luogo dei punti di $P$.


Cordialmente, Alex

[spugna2]

Detti $A$ e $B$ (rispettivamente sugli assi $x$ e $y$) gli estremi del segmento lungo il quale viene effettuata la piega, l'area del triangolo che si forma è uguale all'area del triangolo $OAB$. Possiamo trovare l'equazione del luogo di $P$ nelle coordinate polari $(rho,theta)$: tracciando il segmento $OP$, il triangolo $OAB$ viene suddiviso in due triangoli rettangoli che condividono un cateto di lunghezza $rho/2$, e calcolando i loro secondi cateti si trova che le loro aree sono $rho^2/8 tan theta $ e $rho^2/8 tan(pi/2-theta)=rho^2/8 cot theta$. Troviamo quindi l'equazione

$rho^2/8 (tan theta+cot theta)=K$

da cui, moltiplicando per $8sin theta cos theta$,

$rho^2 (sin^2 theta + cos^2 theta)=8Ksin theta cos theta$

e infine

$rho^2=4K sin(2theta)$

dove $theta$ varia in $[0,pi/2]$. Volendo estendere l'intervallo a $[0,2pi]$ si otterrebbe una "curva a 8" simmetrica rispetto all'origine.

[axpgn]

Spoiler, please

[spugna2]

Giusto..!

[axpgn]

La mia è simile ...

$rho/2=\bar(OA)cos(theta)$

$rho/2=\bar(OB)cos(pi/2-theta)=\bar(OB)sin(theta)$

$\bar(OA)*\bar(OB)=2K$

$rho^2/4=2Ksin(theta)cos(theta)=Ksin(2theta)$

$rho^2=4Ksin(2theta)$

Una lemniscata.

Cordialmente, Alex

[Bokonon]

$r(theta)=2sqrt(ksin(2theta))$ con $0 Oppure, in coordinate cartesiane, $P=((8k^2x)/(x^4+4k^2), (4kx^3)/(x^4+4k^2))$

P.S. Ci metto anche il grafico con animazione (limitata) cliccando il play sul parametro h:
https://www.desmos.com/calculator/gu3bcysugp

[axpgn]