Perimetro poligono interno a un'ellisse
Alla domanda 14 di questa prova http://unipd-scuolagalileiana.it/sites/ ... uzioni.pdf (ho messo il link perché là c'è anche l'immagine):
Si consideri l’ellisse rappresentata in figura, centrata nell’origine del piano cartesiano, di semi–asse maggiore a e fuochi nei punti $F_1= (−\epsilon,0), F_2= (\epsilon,0)$. Si consideri poi il poligono $PF_1QF_2N$ i cui vertici sono rappresentati in figura (di Q si sa solo che appartiene all’ellisse e si trova al di sopra del semi-asse maggiore). Si dica quale delle seguenti affermazioni è vera: ...
Quella giusta dovrebbe essere la a) Il perimetro $l$ del poligono soddisfa $l > 6a-\epsilon$;
però io ottengo $PF_1=a-\epsilon$, $F_1Q+QF_2=2a$, $F_2N=\sqrt{\epsilon^2 + a^2-\epsilon^2}=a$ e $NP=sqrt{a^2 + a^2-\epsilon^2}=sqrt{2a^2-\epsilon^2}$ da cui $l = 4a -\epsilon +sqrt{2a^2-\epsilon^2}\le 6a-\epsilon$.
Dove sto sbagliando?
Si consideri l’ellisse rappresentata in figura, centrata nell’origine del piano cartesiano, di semi–asse maggiore a e fuochi nei punti $F_1= (−\epsilon,0), F_2= (\epsilon,0)$. Si consideri poi il poligono $PF_1QF_2N$ i cui vertici sono rappresentati in figura (di Q si sa solo che appartiene all’ellisse e si trova al di sopra del semi-asse maggiore). Si dica quale delle seguenti affermazioni è vera: ...
Quella giusta dovrebbe essere la a) Il perimetro $l$ del poligono soddisfa $l > 6a-\epsilon$;
però io ottengo $PF_1=a-\epsilon$, $F_1Q+QF_2=2a$, $F_2N=\sqrt{\epsilon^2 + a^2-\epsilon^2}=a$ e $NP=sqrt{a^2 + a^2-\epsilon^2}=sqrt{2a^2-\epsilon^2}$ da cui $l = 4a -\epsilon +sqrt{2a^2-\epsilon^2}\le 6a-\epsilon$.
Dove sto sbagliando?
Risposte
Secondo me, sbaglia il testo e non tu. Col tuo stesso ragionamento si ottiene
$l=a-epsilon+2a+a+NP=4a-epsilon+sqrt(a^2+b^2)$
La radice finale varia da $a$ (quando $b$ vale quasi zero) ad $asqrt2$ (quando $b$ è quasi uguale ad $a$), quindi
$5a-epsilon
e, come detto anche da te, l'ultimo membro è minore di $6a-epsilon$
$l=a-epsilon+2a+a+NP=4a-epsilon+sqrt(a^2+b^2)$
La radice finale varia da $a$ (quando $b$ vale quasi zero) ad $asqrt2$ (quando $b$ è quasi uguale ad $a$), quindi
$5a-epsilon
e, come detto anche da te, l'ultimo membro è minore di $6a-epsilon$
Grazie, quindi la risposta corretta era la C.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo