Perimetro Minimo

[Pachisi]

Dati un angolo acuto $XOY$ ed un punto $A$ interno. Determinare un punto $B$ su $OX$ ed un punto $C$ su $OY$ tale che il perimetro del triangolo $ABC$ sia minimo.

[alfredo4]

Questo problema mi ha ricordato un problema di minimo che si risolve con l'uso di simmetrie.
Precisamente quello che prova come la luce, nel riflettersi su di uno specchio piano, segue
la via di minimo cammino. Utilizzando il medesimo procedimento adoperato in Ottica, indichiamo con
$A'$ ed $A''$ i punti simmetrici di A rispetto ai lati $OY$ ed $OX$ dell'angolo dato XOY.
Dopo aver congiunto $A'$ con $A''$, siano $B$ e $C$ le intersezioni di $A'A''$ con i lati dell'angolo [vedi fig.].
Orbene il triangolo che risolve il problema proposto è ABC [ quello colorato in rosso cupo].
Per dimostrare che ABC è proprio il triangolo di minimo perimetro, si scelgano due altri punti a piacere
$B_o,C_0$ sui lati dell'angolo e si dimostri che il perimetro del triangolo $AB_oC_o$ è maggiore di quello di ABC.
{Lascio quest'ultima cosa all'impegno di qualche volenteroso: non è difficile }

[alfredo4]

Non ci sono ...volenterosi
Allora: congiungiamo $A'$ con $C_o$ e $A'' $ con $B_o$
Osserviamo ora che, per costruzione, OY è asse di AA' e dunque :
$(1) A'C_o=AC_o; A'C=AC$
Analogamente risulta:
$(2) A''B_o=AB_o;A''B=AB $
Calcoliamo adesso il perimetro di ABC :
$2p(ABC)=AB+BC+AC=A''B+BC+A'C=A'A''$
Il perimetro di $AB_oC_o$ è dato da :
$2p(AB_oC_o)=AB_o +B_oC_o +AC_o=A''B_o +B_oC_o +A'C_o$
D'altra parte dal quadrilatero $A'C_oB_oA''$, per un noto teorema , si ha:
$ A'A''< A''B_o +B_oC_o +A'C_o$
Ovvero :
$2p(ABC)<2p(AB_oC_o)$
C.D.D.

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