Per quali $n$ è razionale

[dan952]

Trovare tutti gli $n \in NN$, tali che
$$(\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}+\sqrt[3]{\sqrt{5}-2})^n$$
è razionale.

Suggerimento:

mostrare che $$\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}+\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}=\sqrt{5}$$

[Sk_Anonymous]

Si verifica che
$(\sqrt{5}+2)^(1/3)= 1/2(\sqrt{5}+1)$

e

$(\sqrt{5}-2)^(1/3)= 1/2(\sqrt{5}-1)$

quindi l'espressione proposta è uguale a

$5^(n/2)$

[Sk_Anonymous]

questa formula sembra avere a che fare con il numero $\alpha$ che esprime il rapporto aureo.

Dalla $\alpha^2=\alpha+1$, moltiplcando tutto per $\alpha$, si ha $\alpha^3=\alpha^2+\alpha=2\alpha+1$.
Quindi $\alpha=(2\alpha+1)^(1/3)$. Ma $\sqrt{5}+2=2\alpha+1$.
Analogamente per $-\sqrt{5}+2$
Ecc. ecc.

[dan952]

Bravo

[Erasmus_First]

"dan95":Suggerimento:

mostrare che $\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}+\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}=\sqrt{5}$

Probabilmente hai dimenticato di dividere a sinistra o di moltiplicare a destra per $2sqrt3$.
Fatto sta che $sqrt3(sqrt5+2)+sqrt3(sqrt5-2)=2sqrt3sqrt5 = sqrt60$.

"dan95":Trovare tutti gli $n \in NN$, tali che
$$(\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}+\sqrt[3]{\sqrt{5}-2})^n$$

Frase ellittica, manca il predicato. Se si deve intendere che il predicato è quello del titolo, cioè «è razionale», la risposta è «Ogni naturale pari», dato che per n=2 l'espressione vale 5.

_______

[dan952]

Ho sbagliato la sintassi...ho modificato il post.

[Erasmus_First]

"dan95":Ho sbagliato la sintassi...ho modificato il post.

E hai corretto anche il suggerimento!
[Ormai sono definitivamente imbranato! Non ho nemmeno sospettato che si trattasse solo di errore di scrittura].

Ma si tratta di qualcosa che ... uno vecchio come me ha già visto mille volte!
$((sqrt5 ± 1)/2)^3 = (5sqrt5 ±3·5 +3sqrt5 ±1)/8 = (8sqrt5 ± 16)/8 = sqrt5 ± 2$.
_______