Parte frazionaria di una radice

[jas1231]

Buonasera, vorrei proporvi un problema che non riesco a risolvere:
chiamiamo $ {a} $ la parte frazionaria di $ a $ che si definisce come $ a-[a]={a} $ dove $ [a] $ è la parte intera di $ a $ cioè il minimo intero minore di $ a $ , allora dimostrare che esiste una terna $ x,y,z in Z t.c. x,y,z>n in N$per cui $ {sqrtx}+{sqrty}= 1+ {sqrtz} $ .

[axpgn]

Sinceramente, io non ho capito cosa devi dimostrare ...

Se seguo alla lettera la tua ipotesi, allora dati, per esempio, $x=11, y=13, z=15$, non ne consegue la tesi.

Meglio chiarire ...

[jas1231]

Cerco di spiegarmi, il testo chiede di dimostrare che esistono tre interi $ x,y,z $ maggiori di un generico $ n in N $ per cui si ha che $ {sqrtx}+{sqrty}=1+{sqrtz} $ , cioè la somma delle parti frazionarie (la parte dopo la virgola per intenderci) di $ sqrtx $ e $ sqrty $ sia uguale a 1 + la parte frazionaria di $ sqrtz $.
La terna da te proposta non solo non soddisfa l'equazione ma non andrebbe comunque bene perché potrei scegliere $ n > 15 $.
Spero che adesso si capisca.

[axpgn]

Invece di "spiegarti", riporta il testo esatto del problema, parola per parola, che è meglio.
C'è un'enorme differenza tra "dati" tre numeri e "dimostrare che esistono" tre numeri ...

[jas1231]

ho modificato il testo spero che adesso sia più chiaro, comunque riporto il testo originale parola per parola
se $ a $ è un numero reale, denotiamo con $ {a} $ la parte frazionaria di $ a $, ossia l'unico numero reale con $ 0 le a <1 $ tale che $ k+{a}=a $ per k intero.
Se $ n $ è un intero positivo, fate vedere che esistono dei numeri interi $ x,y,z $ tutti maggiori di $ n $ con $ {sqrtx}+{sqrty}= 1+ {sqrtz} $

[axpgn]

Qui non dice che i tre numeri debbano essere interi quindi qual è il testo giusto?

[jas1231]

Correggo, c'è nel testo originale e non l'ho ricopiato

[Studente Anonimo]

Non è sicuramente il modo richiesto

Ma è quantomeno curioso che prendendo un'altra convenzione allora ogni quadrato perfetto è soluzione del problema.
Infatti scegliendo la convenzione che se due numeri hanno due rappresentazioni decimali differenti, consideriamo quella che termina con infiniti \(9\) invece di infiniti \(0\), allora dati 3 quadrati perfetti \(x,y,z >n \) abbiamo che \( \sqrt{x},\sqrt{y} ,\sqrt{z} \in \mathbb{N} \) e grazie alla nostra convenzione abbiamo che
\[ \operatorname{mant}(\sqrt{x}) + \operatorname{mant}(\sqrt{y}) = 0.\bar{9} + \operatorname{mant}(\sqrt{z}) \]
Siccome \( \operatorname{mant}(\sqrt{x}) = 0.\bar{9} \), \( \operatorname{mant}(\sqrt{y}) = 0.\bar{9} \) e \( \operatorname{mant}(\sqrt{z}) = 0.\bar{9} \).

edit:

Mentre invece con la convenzione usuale sicuramente tutti i quadrati perfetti non soddisfano la relazione richiesta. Infatti se \(x,y,z>n \) sono dei quadrati perfetti avresti
\[ \operatorname{mant}(\sqrt{x}) + \operatorname{mant}(\sqrt{y}) = 0 \neq 1=1+ \operatorname{mant}(\sqrt{z}) \]

[axpgn]

Scusa 3m0o ma mi pare che …

la mantissa di un numero intero è zero non $0.\bar9$ …

[Studente Anonimo]

@axpgn

Non con la convenzione scelta, ma magari sbaglio, infatti ho detto che se due numeri hanno due rappresentazioni decimali differenti scelgo quella con infiniti \(9 \) e non con infiniti \(0 \).
Ad esempio
\[ 1 = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{a_k}{10^k} \]
sia con \( a_0 = 1 \) e \(a_k = 0 \) per ogni \( k \geq 1\). Ma anche \( a_0=0 \) e \( a_k = 9 \) per ogni \(k \geq 1 \). Allo stesso modo ogni intero \(n \). Io ho scelto la convenzione di scegliere in questo caso la seconda rappresentazione di \(1 \) e quindi la sua mantissa \(0.\bar{9} \), inoltre la mantissa stessa è una funzione che dipende dalla scelta della rappresentazione poiché con la convenzione usuale abbiamo che \( \operatorname{Im}(\operatorname{mant}) = [0,1) \) mentre con l'altra convenzione \( \operatorname{Im}(\operatorname{mant}) = (0,1] \)

edit: Ad ogni modo il problema originale era chiaramente riferito alla convenzione usuale

[axpgn]

Continuo a non capire …

Sei d'accordo che $0.\bar9=1$?

Ora se la radice di $64$ è $8$ possiamo anche rappresentarlo con $7.\bar9$ che è anche uguale a $7+0.\bar9$, quindi mi sta bene che $8=7.\bar9$ ma certamente no che $0=0.\bar9$ perché vorrebbe anche dire che $8=7$

IMHO

Cordialmente, Alex

[Studente Anonimo]

@axpgn

Se ti basi su un sistema posizionale hai bisogno di una convenzione. Io non ho mica detto che \( 0 = 0.\bar{9} \). Ma ho detto che \( \operatorname{mant}(7.\bar{9})=0.\bar{9} \neq 0 \). Perché "non possiedo" 8 ne 1 con la mia convenzione siccome terminano con infiniti \(0\).
Di altri esempi in cui una convenzione è capitale è ad esempio la funzione di Lebesgue definita nel seguente modo:
preso \( x (0,1] \) con una rappresentazione binaria \((a_k)_k \) (con la convenzione che se un numero ha più rappresentazioni scelgo quella che termina con infiniti \(1 \)) allora poniamo
\[ f(x) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2 a_k}{3^k} \] e \( f(0)=0 \).
L'immagine di \(f \) è contenuta nell'insieme di Cantor, ma non è suriettiva (nel insieme di Cantor). Infatti \( 1/2=0,100000... \) e \( 1/2=0,01111111... \) senza una convenzione la funzione non è ben definita infatti
\( f(1/2)=f(0,100000...)= 2/3 \) ma pure \( f(1/2)=f(0,01111111...)= 1/3 \). Con la convenzione è ben definita, ma in un caso \(2/3 \) (con la nostra convenzione), nell'altro \( 1/3 \) (con l'altra convenzione), non hanno pre-immagine nonostante siano nell'insieme di Cantor.
Quindi la definizione di una funzione può benissimo dipendere da una convenzione, così anche la mantissa dipende dalla convenzione. Così \( 1=1.00000000...=0,999999...... \) abbiamo che con una convenzione \( \operatorname{mant}(1.000000000...)=0 \) mentre con l'altra convenzione \( \operatorname{mant}(0.999999999...)=1 \).
Ma sto andando un po' tanto off-topic

[jas1231]

"3m0o":Non è sicuramente il modo richiesto

Ma è quantomeno curioso che prendendo un'altra convenzione allora ogni quadrato perfetto è soluzione del problema.
Infatti scegliendo la convenzione che se due numeri hanno due rappresentazioni decimali differenti, consideriamo quella che termina con infiniti \( 9 \) invece di infiniti \( 0 \), allora dati 3 quadrati perfetti \( x,y,z >n \) abbiamo che \( \sqrt{x},\sqrt{y} ,\sqrt{z} \in \mathbb{N} \) e grazie alla nostra convenzione abbiamo che
\[ \operatorname{mant}(\sqrt{x}) + \operatorname{mant}(\sqrt{y}) = 0.\bar{9} + \operatorname{mant}(\sqrt{z}) \]
Siccome \( \operatorname{mant}(\sqrt{x}) = 0.\bar{9} \), \( \operatorname{mant}(\sqrt{y}) = 0.\bar{9} \) e \( \operatorname{mant}(\sqrt{z}) = 0.\bar{9} \).

Diciamo che è una risposta un po' borderline e non so quanto possa essere corretta perché $ 0,bar(9)=1 $ quindi $ 0,bar(9) $ non può essere la parte frazionaria di una radice.
Io comunque credo di aver trovato la soluzione e la posto qui sotto

se $ {sqrtx}+{sqrty}= 1+ {sqrtz} $ è vera allora
$ sqrtx+sqrty-sqrtzinZ $ elevo al quadrato
$ x+y+z+ 2sqrt(xy)-2sqrt(xz)-2sqrt(yz)inZZ $ elimino $ x+y+z $ perché è intero e ottengo
$ 2sqrt(xy)-2sqrt(xz)-2sqrt(yz)inZZ $ quindi elevo di nuovo al quadrato
$ 4(xy+xz+yz+2zsqrt(xy)-2ysqrt(xz)-2xsqrt(yz))in ZZ $ elimino $ 4(xy+xz+yz) $ perché sicuramente intero
quindi imposto il sistema $ { ( 2(sqrt(xy)-sqrt(xz)-sqrt(yz))in ZZ ),(8(zsqrt(xy)-ysqrt(xz)-xsqrt(yz))in ZZ ):} $ lo lavoro alla gauss (ad esempio la seconda equazione meno $ 4z $ volte la prima) ed ottengo
$ 8((z-y)sqrt(xz)+(z-x)sqrt(yz))in ZZ $ elevo un'altra volta al quadrato
$ 64((z-y)^2xz+(z-x)^2yz+(z-y)(z-x)zsqrt(yx))in ZZ $ togliamo la parte sicuramente intera
$ 64((z-y)(z-x)zsqrt(yx))in ZZ $ da qui concludiamo che $ sqrt(xy) in ZZ $ perché sappiamo che appartiene alle frazioni ma il suo quadrato è intero quindi deve necessariamente essere intero.
Facendo una diversa manipolazione alla Gauss (che non scrivo per non appesantire la lettura) otteniamo che $ sqrt(xz) in ZZ $
da queste informazioni otteniamo che $ sqrt(xz)*sqrt(xy)=xsqrt(yz) in ZZ $ per cui $ sqrt(yz) in ZZ $
quindi concludiamo che $ { ( sqrt(xy)in Z ),( sqrt(xz)in Z ),( sqrt(yz) in ZZ):} $
Adesso proviamo invece a scrivere $ sqrtx+sqrty=sqrtz+k $ con k intero allora attraverso varie manipolazioni (sempre all'insegna dell'elevazione al quadrato) otteniamo $ 4k^2z+4xy-(k^2+z-x-y)^2=8ksqrt(xyz) $ da cui concludiamo che per $ k ne 0 $ allora $ sqrt(xyz) in ZZ $
scrivo che se $ k ne 0 $ allora $ { ( sqrt(xy)in ZZ ),( sqrt(xz)in ZZ ),( sqrt(yz) in ZZZ),(sqrt(xyz)inZZ):} $
ma ciò è possibile se e solo se $ x,y,z $ sono quadrati perfetti perché $ sqrt(xyz)=sqrt(xy) * sqrt(z)in ZZ $ per cui $ sqrt(z)in ZZ $ e questo procedimento si può svolgere per ogni variabile, quindi $ k ne 0 $ non va bene.
se $ k=0 $ allora le uniche condizioni sono $ { ( sqrt(xy)in ZZ ),( sqrt(xz)in ZZ ),( sqrt(yz) in ZZ):} $ e se scrivo $ x= alpha * beta^2 $ , $ x= alpha * gamma^2 $ , $ x= alpha * delta^2 $ con $ alpha, beta, gamma,delta in ZZ $ allora l'equazione $ {sqrtx}+{sqrty}=1+{sqrtz} $ diventa $ beta + gamma= delta $ con $ alpha ne 0 $ che ha infinite soluzioni anche imponendo la condizione $ x,y,z>nin NN $

Ditemi se secondo voi va bene.

[Studente Anonimo]

Forse sto prendendo un grosso abbaglio!!! Perdonatemi!
Rifacendomi su una "definizione" naif di mantissa
che dato un numero con \( n \in \mathbb{N}_{\geq 0} \) e \( x \in \mathbb{R} \) con
\[ x = \sum_{k=-n}^{\infty} \frac{a_k}{10^k} \]
allora
\[ \operatorname{mant}(x)= \sum_{k=1}^{\infty} \frac{a_k}{10^k} \]

e non sulla definizione usuale
\[ \operatorname{mant}(x) = x - \operatorname{floor}(x) \]

insomma diciamo che potrebbero essere deliri causati dal troppo studio!
Mi fermo qui per evitare di dire altre castronerie.

[axpgn]

"3m0o": Io non ho mica detto che \( 0 = 0.\bar{9} \). Ma ho detto che \( \operatorname{mant}(7.\bar{9})=0.\bar{9} \neq 0 \). Perché "non possiedo" 8 ne 1 con la mia convenzione siccome terminano con infiniti \(0\).

È un mio problema ma continuo a non capire cosa vuoi dire …
Lascia stare Lebesgue che non c'entra e sicuramente la definizione di "parte frazionaria" dell'OP è un'altra cosa rispetto alla tua definizione di mantissa, però ti chiedo cosa c'è di sbagliato nel mio ultimo post e in cosa confliggono con le tue affermazioni che sopra riporto …

[axpgn]

Peraltro anche questa

"3m0o":che dato un numero con \( n \in \mathbb{N}_{\geq 0} \) e \( x \in \mathbb{R} \) con
\[ x = \sum_{k=-n}^{\infty} \frac{a_k}{10^k} \]
allora
\[ \operatorname{mant}(x)= \sum_{k=1}^{\infty} \frac{a_k}{10^k} \]

non mi torna molto: cos'è $n$ ? cosa sarebbe $a_(-3)$, tanto per fare un esempio?

[jas1231]

"3m0o":

Forse sto prendendo un grosso abbaglio!!! Perdonatemi!
Rifacendomi su una "definizione" naif di mantissa
che dato un numero con \( n \in \mathbb{N}_{\geq 0} \) e \( x \in \mathbb{R} \) con
\[ x = \sum_{k=-n}^{\infty} \frac{a_k}{10^k} \]
allora
\[ \operatorname{mant}(x)= \sum_{k=1}^{\infty} \frac{a_k}{10^k} \]

e non sulla definizione usuale
\[ \operatorname{mant}(x) = x - \operatorname{floor}(x) \]

insomma diciamo che potrebbero essere deliri causati dal troppo studio!
Mi fermo qui per evitare di dire altre castronerie.

credo di aver capito cosa intendi ma se leggi la definizione di mantissa che dà il testo noterai che prevede che $ mant(x)<1 $ e $ 0,bar(9) =1 $ è un'uguaglianza relativamente semplice da dimostrare da cui si deduce che $ mant(x) ne 0,bar(9) $ per cui $ mant(\sqrt{x}) + mant(\sqrt{y}) = 0.\bar{9} + mant(\sqrt{z}) $ non è accettabile come soluzione.

[axpgn]

@jas123
Provo a dare un'occhiata a quanto hai scritto ma non fidarti molto

Per prima cosa mi pare che sei partito nel voler dimostrare la conversa che non è (ancora) la stessa cosa, poi per ora io mi sono fermato qui ( )

"jas123":quindi imposto il sistema $ { ( 2(sqrt(xy)-sqrt(xz)-sqrt(yz))in ZZ ),(8(zsqrt(xy)-ysqrt(xz)-xsqrt(yz))in ZZ ):} $

Questo non è un sistema

Cordialmente, Alex

[Studente Anonimo]

[ot]Con la definizione "naif" che ho dato (e mi hai fatto sorgere il dubbio che sia valida)
Dove semplicemente \(x \) lo scrivo con la sua notazione posizionale in base \(10 \)
\[ x= a_{-n} 10^n + a_{-(n-1)} 10^{n-1} + \ldots + a_0 10^0 + a_1 10^{-1} + a_2 10^{-2} + \ldots \]

con \( a_k \in \{ 0,1,\ldots, 9 \} \).
La mantissa sarebbe il numero \( a_1 10^{-1} + a_2 10^{-2} + \ldots \) mentre la parte intera sarebbe \( a_{-n} 10^n + a_{-(n-1)} 10^{n-1} + \ldots + a_0 10^0 \).
Ora se un numero termina con infiniti zeri ad esempio 8
\[ 8 = a_0 10^0 + 0 \cdot 10^{-1} + 0 \cdot 10^{-2} + \ldots \]
Con \( a_0 = 8 \) e \( a_k=0 \) per ogni \(k \geq 1 \).
Può essere scritto anche in un altro modo, ovvero che termina con infiniti nove
\[ 8 = (a_0 - 1) 10^0 + 9 \cdot 10^{-1} + 9 \cdot 10^{-2} + \ldots \]

Quindi dobbiamo scegliere una convenzione altrimenti la mantissa non è ben definita (rispetto alla definizione che ho dato io e non che ha dato l'OP, esattamente come la funzione di Lebesgue). Ed in base a quale convenzione adottiamo la mantissa cambia. Ma non vi sono contraddizioni del tipo \(8=7 \) perché semplicemente dico che la mantissa può essere \( 1 \) ma non può essere \(0 \).

Ora se un numero non è intero la mantissa non cambia infatti \( 0.a_1a_2a_3a_4 \ldots a_{k-1}a_k 00000... = 0.a_1a_2a_3 \ldots a_{k-1} (a_k-1)9999... \) mentre se è intero allora la mantissa cambia e prende il valore di \(0 \) oppure \( 1 \) in base alla convenzione (mai entrambi).

con la convenzione che scelgo la rappresentazione di un numero con infiniti \(0 \). Ora x lo considero positivo, perché con i negativi non ricordo come si chiama la funzione floor, forse ceil. Non cambia comunque con i negativi, abbiamo dunque \(x = \operatorname{floor}(x) + \operatorname{mant}(x) \). Con i numeri interi abbiamo quindi \( \operatorname{floor}(n)=n \) e \( \operatorname{mant}(n)=0 \). Infatti l'immagine di \(\operatorname{floor} \) sono i numeri interi, mentre l'immagine di \( \operatorname{mant} \) è \( [0,1) \), con \(n \) intero dunque \( n= n+0 \).

convenzione che scelgo la rappresentazione di un numero con infiniti \(9\). Posso scrivere \(x = \operatorname{floor}(x) + \operatorname{mant}(x) \). Con i numeri interi abbiamo quindi \( \operatorname{floor}(n)=n-1 \) e \( \operatorname{mant}(n)=1 \). Mentre l'immagine di \( \operatorname{mant} \) è \( (0,1] \), con \(n \) intero dunque \( n= (n-1)+1 \).

Insomma in un caso vedo \( 8 \) di parte intera \( 8 \) e di mantissa \(0 \). Nell'altro modo vedo \( 7.999999... \) come di parte intera \(7 \) e di mantissa \(0.99999....=1 \).

Con la convenzione di prendere infiniti 0 (ed escludere la rappresentazione con infiniti 9) le due definizioni di mantissa coincidono, con la convenzione di prendere infiniti 9 (ed escludere la rappresentazione con infiniti 0) le due definizioni di mantissa coincidono sui numeri non interi ma differiscono sui numeri interi.[/ot]

Edit: solo a me da math processing error? Voi vedete le cose scritte in LaTeX?

[axpgn]

@3m0o
Sinceramente non ho mai visto scrivere un numero con gli indici "al contrario", lo fai per complicarti la vita?

E poi bastava poco per dire che $n$ rappresenta la quantità di cifre "prima" della virgola e non contando gli zeri non significativi a sinistra (se si vuole essere precisi … scusa la battuta )

Comunque rimane il fatto che l'OP ha scritto $1$ e nella tua convenzione la scrittura $1$ non esiste (come non esiste $8$ ma $7.\bar9$)

[ot]Prima di aprire lo spoiler dagli il tempo di scaricare tutto MathJax altrimenti può succedere (talvolta)[/ot]

[Studente Anonimo]

Beh gli indici "al contrario" gli scrivi con la serie di Laurent, ma in questo caso avevo considerato prima solo
\[ \sum_{k=0}^{ \infty} \frac{a_k}{10^k} \]
poi mi sono reso conto di non star considerando tutti i numeri più grandi di \(10 \) e quindi ho aggiunto un \(-n\) al posto dello zero così il \( \frac{1}{10^{-n}}=10^n \), e mi sembrava il modo che richiedesse meno tempo per correggere questa mia mancanza
E nel post successivo ho continuato con questa scrittura per rimanere coerente.

Si effettivamente mi sono spiegato maluccio. Comunque lo so che l'OP aveva un altra definizione io dicevo solo che è curioso come in base alla convenzione che prendi (con la definizione che intendo io) hai che in un caso tutti gli interi sono soluzione e nell'altro nessun intero è soluzione.
edit: non tutti gli interi ma tutti i quadrati perfetti.