Parte frazionaria di una radice
Buonasera, vorrei proporvi un problema che non riesco a risolvere:
chiamiamo $ {a} $ la parte frazionaria di $ a $ che si definisce come $ a-[a]={a} $ dove $ [a] $ è la parte intera di $ a $ cioè il minimo intero minore di $ a $ , allora dimostrare che esiste una terna $ x,y,z in Z t.c. x,y,z>n in N$per cui $ {sqrtx}+{sqrty}= 1+ {sqrtz} $ .
chiamiamo $ {a} $ la parte frazionaria di $ a $ che si definisce come $ a-[a]={a} $ dove $ [a] $ è la parte intera di $ a $ cioè il minimo intero minore di $ a $ , allora dimostrare che esiste una terna $ x,y,z in Z t.c. x,y,z>n in N$per cui $ {sqrtx}+{sqrty}= 1+ {sqrtz} $ .
Risposte
"3m0o":
… io dicevo solo che è curioso come in base alla convenzione che prendi (con la definizione che intendo io) hai che in un caso tutti gli interi sono soluzione e nell'altro nessun intero è soluzione.
edit: non tutti gli interi ma tutti i quadrati perfetti.
… mmmm … non mi pare sia così, la convenzione usata è implicita nel fatto che usa il numero $1$ che nell'altra convenzione non esiste … isn't it?
Chiaramente nel testo del problema è specificata pure la definizione di mantissa dunque non puoi considerare la convenzione.
Ma uscendo dal problema iniziale, e considerando la definizione a cui ho fatto riferimento, abbiamo che \(1 \) è solo un nome che dai per rappresentare \( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{a_k}{10^k} \), con \( a_0=1 \) e \(a_k=0 \) per tutti \(k \geq 1\) e \( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{b_k}{10^k} \) \( b_0=0 \) e \(b_k=9 \) per tutti \(k \geq 1\) e che sono lo stesso oggetto ma che hanno scritture differenti. Ed in base a quale scrittura scegli come convenzione le soluzioni al problema cambiano.
Ma uscendo dal problema iniziale, e considerando la definizione a cui ho fatto riferimento, abbiamo che \(1 \) è solo un nome che dai per rappresentare \( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{a_k}{10^k} \), con \( a_0=1 \) e \(a_k=0 \) per tutti \(k \geq 1\) e \( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{b_k}{10^k} \) \( b_0=0 \) e \(b_k=9 \) per tutti \(k \geq 1\) e che sono lo stesso oggetto ma che hanno scritture differenti. Ed in base a quale scrittura scegli come convenzione le soluzioni al problema cambiano.
Volando un po' più in basso, mi pare potrebbe andar bene:
.. e qualche camionata di altre possibilità
Ciao
.. e qualche camionata di altre possibilità
Ciao
Giusto per rompere le scatole: quella non è una dimostrazione 
(Disclaimer: intervento fatto solo perché non riesco comunque a dimostrarla partendo da quelle soluzioni
)
EDIT: ci sono riuscito, sbagliavo i conti
(Disclaimer: intervento fatto solo perché non riesco comunque a dimostrarla partendo da quelle soluzioni
)EDIT: ci sono riuscito, sbagliavo i conti
@orsoulx
se guardi la mia dimostrazione il caso che hai proposto ricade in quelli che ho trovato (che dovrebbero essere tutti i casi possibili)
se guardi la mia dimostrazione il caso che hai proposto ricade in quelli che ho trovato (che dovrebbero essere tutti i casi possibili)
"jas123":
...(che dovrebbero essere tutti i casi possibili)
Vero! Ogni soluzione soddisfa le condizioni che hai trovato, che sono pertanto necessarie.
Purtroppo, però, non sono sufficienti per garantire l'uno al secondo membro dell'uguaglianza assegnata.
Ciao
sì vero, però a partire da lì è semplicissimo trovare soluzioni sicure (ad esempio scegliendo $ alpha =k^2-1 $ con $ k>n $ intero e $ beta,gamma=1 $)
Un pezzo non è veramente dimostrato, ma il resto dovrebbe andare bene. In sostanza, è come la soluzione già data, ma mi sembra più chiaramente esposta e dimostrata.
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