Palindromi

[axpgn]

Dato $n$ naturale, chiamo $p$ i palindromi (es. $9, 11, 313, 1001, ...$) minori o uguali a $n$,

Quanto vale $lim_(n->infty) (log p)/(log n)$ (ammesso che esista)?



Cordialmente, Alex

[Folpo13]

Provo

Poniamo $N=10^n$
I palindromi di una cifra sono $9$
I palindromi di due cifre sono $9$
I palindromi di tre cifre sono $9^2$

E in generale $9^(n/2)$ se sono di $n$ pari cifre e $9^((n+1)/2)$ se sono di $n$ dispari cifre.

Facciamo l'esempio di $N$ con un numero pari di cifre (quello dispari è pressoché uguale).
Il numero di palindromi minori di $10^n$ è quindi $P(N)=\sum_(k=1)^(n/2)2\cdot9^k$ che per la formula delle serie geometriche è $P(N)=(9^(n/2+1)-9)/4$

Calcolo ora il $lim_(N->\infty)log(N)/log((9^(n/2+1)-9)/4)=lim_(n->\infty)log(10^n)/log((9^(n/2+1)-9)/4)=lim_(n->\infty)n/(log(9^(n/2+1)-9)-log4$ ed è facile vedere che questo limite è uguale a $2/log9$

Edit:

Ok ho riletto chiedevano il reciproco quindi $log9/2$

[axpgn]

@Folpo13

I palindromi di tre cifre sono $9 xx 10\ \ (aba)$ così come quelli di quattro, i palindromi di cinque cifre sono $9 xx 100\ \ (abcba)$ così come quelli di sei cifre, ecc.
Dovresti rivedere le tue formule

E le 4 operazioni?


Cordialmente, Alex

[Folpo13]

"axpgn":...

Giusto...

Non ho considerato lo $0$...

Dopo riguardo i conti...

"axpgn":
E le 4 operazioni?

Vero, mi stavo quasi dimenticando...

[Folpo13]

Ok dovrei aver corretto...

Il numero di palindromi $<=10^n$ è $9\cdot10^(n/2-1)$ con $n$ pari.
La somma viene fuori $2(10^(n/2)-10)$ e il limite $lim_(n->\infty)log(2(10^(n/2)-10))/(log(n))=1/2$

[axpgn]

Ok per il risultato ma il resto andrebbe rivisto