$P^(2016)(x)$

[dan952]

Sia $P(x)$ un polinomio a coefficienti interi, e sia $P^(2016)(x)$ il polinomio ottenuto componendo $P(x)$ con se stesso 2016 volte.Sia $a$ un intero tale che $P^(2016)(a)=a$. Dimostrare che $P(P(a)) = a$.

[Erasmus_First]

"dan95":Sia $P(x)$ un polinomio a coefficienti interi, e sia $P^(2016)(x)$ il polinomio ottenuto componendo $P(x)$ con se stesso 2016 volte. [...]

Che significa "comporre un polinomio con se stesso" ?
Non capisco.
Sia $P(x)$ un polinomio in $x$. Se la "composizione" è il "prodotto" e se con $P^n(x)$ si intende $[P(x)]^n$. .... si osservi che anche quando è n >2 solo una volta $P(x)$ viene "composto" con sé stesso!
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[axpgn]

"Erasmus_First":Che significa "comporre un polinomio con se stesso" ?

Questo

"dan95":$ P(P(a)) = a $.

[Erasmus_First]

"axpgn":Questo [quote="dan95"]$ P(P(a)) = a $.

[/quote]
Ma $P^2(x)$ non signiìfica $P[P(x)]$ (tranne il caso $P(x)=x^2$).
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[dan952]

Erasmus ho sentito la necessità di creare una notazione al momento perché per ovvi motivi pratici non potevo scrivere la composizione di P(x) con se stesso 2016 esplicitamente. Forse sarebbe stato meglio usare $P^{(2016)}(x)$, comunque non soffermiamoci su queste cose...cerchiamo di risolvere il problema più elegantemente possibile.

[axpgn]

"Erasmus_First":... Ma $P^2(x)$ non signiìfica $P[P(x)]$ (tranne il caso $P(x)=x^2$). ...

Sì, certo ma ha scritto cosa intendeva dire con quella scrittura ...

[spugna2]

Sia $S=(a_0,a_1,a_2,...)$ la successione definita da $a_0=a$ e $a_{n+1}=P(a_n)$: sappiamo dalle ipotesi che $S$ è periodica, e vogliamo dimostrare che il periodo può essere $1$ o $2$.

Supponendo che $S$ non sia costante (cioè che non abbia periodo $1$), chiamiamo $k$ il periodo e poniamo $d_n=a_{n+1}-a_n$: otteniamo così una nuova successione, che chiameremo $D$, anch'essa periodica e a valori non nulli: sapendo che vale sempre $b-c|P(b)-P(c)$, abbiamo $d_n|d_{n+1}$, e in particolare $|d_n| \le |d_{n+1}|$, ma dal momento che $D$ è periodica, ciò può accadere solo se $|d_n|$ è una costante, che chiameremo $\delta$.

Siano ora $M=\max \{ a_1, a_2,...,a_k \}$ e $m$ un intero tale che $a_m=M$: per quanto visto finora, si ha necessariamente $a_{m-1}=a_{m+1}=M-\delta$, ma allora $S$ ha periodo $2$.

[dan952]

Menomale qualcuno l'ha risolto...stava cominciando a stagnare