Ottenere il massimo

[milizia96]

Per chi è in ambiente olimpico dovrebbe essere facile, ma è istruttivo per chi lo vede per la prima volta:

$x$ e $y$ sono due numeri positivi la cui somma è fissata ($x+y=k$).
Quando si ha che $x^2 \sqrt(y)$ assume valore massimo?

Da risolvere usando metodi elementari (per intenderci, niente derivate...)

[Luca114]

Quando $y=1/(4)x$?

[milizia96]

Esatto!!
Come mai?

[Rigel1]

Premetto che esercizio si può risolvere in pochi secondi usando i moltiplicatori di Lagrange, ma che ovviamente questa non è una soluzione lecita in questo contesto.
Una soluzione elementare si può ottenere usando la solita disuguaglianza AM-GM.
Innanzi tutto, osserviamo che massimizzare al quantità \(x^2 \sqrt{y}\), con \(x\) e \(y\) non negativi, equivale a massimizzare il suo quadrato, vale a dire \(x^4 y\) o, in maniera altrettanto equivalente, \(\left(\frac{x}{4}\right)^4 y\).
Usando AM-GM si ha che
\[
\left(\frac{x}{4}\right)^4 y = \frac{x}{4}\cdot \frac{x}{4}\cdot \frac{x}{4}\cdot \frac{x}{4}\cdot y
\leq
\left(\frac{4 \frac{x}{4}+y}{5}\right)^5 = \left(\frac{k}{5}\right)^5,
\]
con uguaglianza che vale se e solo se i 5 termini sono uguali, cioè se e solo se \(\frac{x}{4} = y\).

[milizia96]

Ottimo!

[Sk_Anonymous]

Generalizzando si può dire che se x,y sono variabili positive a somma costante ( x+y=k) e p,q sono numeri razionali, allora il massimo di $x^py^q$ si ottiene quando risulta :$x/p=y/q$
Nel nostro caso l'espressione da massimizzare è $x^2y^{1/2}$ e pertanto , esssendo ora $p=2,q=1/2$, il massimo richiesto si realizza quando è :
$x/2=y/{1/2}$
ovvero quando si ha : $x=4y$
P.S. Il problema è stato già discusso. Puoi vedere all'indirizzo:
viewtopic.php?f=47&t=114237&hilit=ciromario