Numeri Triangolari

[Pachisi]

Sia $n$ la somma di due numeri triangolari, ossia $n=(a^2+a)/2+(b^2+b)/2$ con $a$ e $b$ interi positivi. Scrivere $4n+1$ come somma di due quadrati, $4n+1=x^2+y^2$, dove $x$ e $y$ sono in termini di $a$ e $b$.

[robbstark1]

$4n+1 = 2a^2 + 2a + 2b^2 + 2b + 1 = a^2 + b^2 - 2ab + a^2 + b^2 + 1 + 2ab + 2a + 2b = (a-b)^2 + (a+b+1)^2$

[Pachisi]

Si, bravo

[Erasmus_First]

"Pachisi":Sia $n$ la somma di due numeri triangolari, ossia $n=(a^2+a)/2+(b^2+b)/2$ con $a$ e $b$ interi positivi. Scrivere $4n+1$ come somma di due quadrati, $4n+1=x^2+y^2$, dove $x$ e $y$ sono in termini di $a$ e $b$.

Non capisco cosa intendi con «essere in termini di $a$ e $b$.
Comunque, visto che non è richiesto che x e y siano interi, una soluzione IMMEDIATA è
$x = sqrt2(a+1/2)$; $y = sqrt2(b+1/2)$.

Infatti, se $n=(a^2+a)/2+(b^2+b)/2$, allora:
$4n+1 = 2(a^2 + a) + 2(b^2 + b) + 1 =$
$= 2[(a^2 + a +1/4) + (b^2 + b + 1/4)] = 2(a + 1/2)^2 + 2(b + 1/2)^2$.
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[Pachisi]

Ok, mi sono espresso male: $x$ e $y$ devono essere interi.
Comunque, mi sembra che tu abbia capito la parte "essere in termini di $a$ e $b$".

[Erasmus_First]

"Pachisi":[...] mi sembra che tu abbia capito la parte "essere in termini di $a$ e $b$".

No.
Anzi, qualunque significato si dia a quelle parole, esse mi paiono ... "in più" (superflue, inutili, solo "noise").
Il sostituire $n$ con $(a(a+1))/2 + (b(b+1))/2$ in $4n+1$ è un passaggio obbligato.
In fondo, si tratta di mostrare che, se $a$ e $b$ sono interi positivi [distinti], allora l'intero positivo:
$2a(a+1)+2b(b+1) + 1$
è [sempre] la somma di due quadrati [di interi – come si precisa adesso –].
Cosa che si evidenzia col "trucco" di aggiungere e togliere $2ab$ ...

... come giustamente ha già fatto robbstark il quale ha scritto

"robbstark":$2a^2 + 2a + 2b^2 + 2b + 1 = a^2 + b^2 - 2ab + a^2 + b^2 + 1 + 2ab + 2a + 2b=$
$ = (a-b)^2 + (a+b+1)^2$

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