Numeri su circonferenza

[Raffa20001]

Visto che l'altro problema è durato così poco ne propongo un altro

Lungo una circonferenza sono disposti 100 numeri reali distinti.
Dimostrare che ne esistono 4 consecutivi tali che la somma dei due laterali è minore della
somma dei 2 centrali.

[axpgn]

Supponiamo che ogni quattro numeri consecutivi la somma dei due laterali sia maggiore dei due centrali ovvero che sia $a_1+a_4>a_2+a_3; a_2+a_5>a_3+a_4; ...; a_97+a_100>a_98+a_99; ...; a_100+a_3>a_1+a_2$
Sommando membro a membro otteniamo $2sum_(k=1)^100 a_k>2sum_(k=1)^100 a_k$, assurdo.
Idem $2sum_(k=1)^100 a_k<2sum_(k=1)^100 a_k$
Se una delle disuguaglianze fosse un'uguaglianza, potremmo tranquillamente togliere quei quattro numeri dal cerchio e non cambierebbe niente, e quindi potremmo toglierli tutti se fossero tutti uguali ma così non è perché sono tutti distinti.
Quindi l'unica possibilità che rimane è che esistano sia casi in cui vale $<$ e alcuni in cui vale $>$.

IMHO

Cordialmente, Alex

[Raffa20001]

E anche questo è durato pochissimo, mi stai abbattendo tutti i problemi
Tra l'altro soluzione identica alla mia, partendo dal ragionamento per assurdo.
La prossima volta proverò a proporne uno più complicato, magari sulle monete come quello di prima.